Enunciado

Um fabricante de latas sem tampas deseja usar folhas-de-flandres com dimensões de 8 cm por 15 cm, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Use o método dessa seção para encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, a fim de obter de cada folha-de-flandres uma caixa aberta, tendo o maior volume possível.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

O problema diz que vamos tirar quadrados iguais dos lados e dobrá-los para cima. Vamos chamar o lado do quadrado de x (em centímetros). Se um dos lados tem 8 cm e o outro tem 15 cm, quando cortarmos os quadrados de ambos os lados de cada um, ficaremos com 8 - 2 x de um lado e 15 - 2 x do outro. Isso porque foi tirado um quadrado de cada lado! Desse desenho:

Figura fora de escala.

E o problema também diz que esses quadrados cortados de lado x serão erguidos e farão a altura da caixa. Então o volume V da caixa será o produto de cada uma dessas dimensões:

V x = 15 - 2 x 8 - 2 x x

Simplificando:

V x = 120 - 30 x - 16 x + 4 x 2 x

V x = 4 x 3 - 46 x 2 + 120 x

Essa é a equação que procurávamos!

Passo 3

Agora precisamos determinar o intervalo fechado que estamos analisando. Repare que x ≥ 0 , pois não faria sentido falar de dimensões negativas. E pelo mesmo motivo: 8 - 2 x ≥ 0 . E daí temos que x ≤ 4 . Então o nosso intervalo fechado fica 0 ,   4 .

Agora derivando a função:

d V d x = 12 x 2 - 92 x + 120

Como a derivada está definida para qualquer x , vamos encontrar os pontos onde ela se anula:

12 x 2 - 92 x + 120 = 0

Vamos facilitar a nossa vida e dividir tudo por 4 :

3 x 2 - 23 x + 30 = 0

Agora por bhaskara:

x 1,2 = 23 ± 23 2 - 4 ∙ 3 ∙ 30 2 ∙ 3

x 1,2 = 23 ± 169 6

Daí temos as duas raízes:

x 1 = 6

E

x 2 = 5 3

Mas lembre-se do nosso intervalo: 0 ≤ x ≤ 4 . Então podemos desconsiderar x = 6 .

Passo 4

Agora vamos calcular a função original em cada ponto um dos três pontos (os extremos do intervalo e no valor de x que acabamos de encontar). O valor de x que tiver a maior imagem será o máximo da função no intervalo fechado!

V 0 = 4 0 - 46 0 + 120 0 = 0

V 4 = 4 4 3 - 46 4 2 + 120 4 = 0

V 5 3 = 4 5 3 3 - 46 5 3 2 + 120 5 3 ≈ 90.74

Daí temos a nossa resposta! x = 5 3

Resposta

5 3 centímetros.

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