Enunciado

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Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais).

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

x = ± 1 ,     x = ± 0,5 ,     x = ± 0,1 ,     x = ± 0,05 ,     x = ± 0,01

Passo 1

Bora entender o que a gente vai fazer aqui!! O problema da pra a gente esse limite:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

E basicamente o que a gente quer é estimar quanto vale essa função quando ela se aproxima de zero. O problema é que não podemos substituir o zero porque teriamos uma divisão por zero!

Então o que que o enunciado propõe pra a gente?!A gente vai substituir o x por vários valores que se aproximam cada vez mais do zero. A gente vai fazer isso pela direita e pela esquerda e isso vai mostrar pra a gente qual é o valor desse limite!

Passo 2

Temos:

f x = e x - 1 - x x 2

Os valores que a gente vai substituir são:

x = ± 1 ,     x = ± 0,5 ,     x = ± 0,1 ,     x = ± 0,05 ,     x = ± 0,01

O primeiro eu vou fazer junto com você, como é só substituição eu vou deixar a resposta do resto em uma tabelinha pra a gente comparar nossos resultados e ver se ta tudo certinho! Beleza?!

Então vamos começar, para x = 1 :

e 1 - 1 - 1 1 2 = 0,718282

O e é um número irracional que é aproximadamente igual a 2,72 , porém como o enunciado pede uma precisão de 6 casas decimais, é melhor usar a função da sua calculadora para calcular!

Agora para x = - 1

e - 1 - 1 - ( - 1 ) - 1 2 = 0,367879

Agora é só fazer o mesmo com os outros valores!!

Construindo uma tabela com os valores de x dados e os respectivos f ( x ) ficamos com

Analisando os dados da tabela, vemos que quando mais x se aproxima de zero, mas f ( x ) vai se aproximando de 0,5 , então podemos dizer que:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 = 0,5

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 = 0,5

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