Enunciado

Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.

14)   lim x → 0 - ⁡ f x = 1 ,     lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,   lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,   lim x → 2 + ⁡ f x = 1 ,     f 2 = 1 ,   f 0 n ã o   e s t á   d e f i n i d a  

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar um gráfico que satisfaça as seguintes condições:

lim x → 0 - ⁡ f x = 1

lim x → 0 + ⁡ f x = - 1

lim x → 2 - ⁡ f x = 0

lim x → 2 + ⁡ f x = 1

f 2 = 1

f 0 não está definida

O enunciado também quer que demos um exemplo de uma função f que satisfaça essas condições.

Para isso, perceba que estamos trabalhando com limites laterais. Mas o que são esses limites laterais???

Bom... referem-se aos valores que uma função se aproxima à medida que a variável de entrada se aproxima de um determinado ponto a partir de um lado específico.

Se a função se aproxima de um valor específico à medida que a variável de entrada se aproxima do ponto a partir do lado direito, é chamado de limite lateral direito.

Da mesma forma, se a função se aproxima de um valor específico à medida que a variável de entrada se aproxima do ponto a partir do lado esquerdo, é chamado de limite lateral esquerdo.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Muito bem, vamos analisar cada uma das condições que nos foram dadas:

Quando a função se aproxima de 0 pela esquerda, a função tende a 1 ...veja:

lim x → 0 - ⁡ f x = 1

E quando se aproxima se 0 pela direita, a função tende a - 1 , se liga:

lim x → 0 + ⁡ f x = - 1

Passo 3

No entanto a função exatamente no ponto x = 0 não está definida, ou seja, intervalo aberto nele!! Portanto:

f 0 não está definida

Agora quando a função se aproxima de 2 pela esquerda, a função tende a 0 :

lim x → 2 - ⁡ f x = 0

E quando se aproxima se 2 pela direita, a função tende a 1 :

lim x → 2 + ⁡ f x = 1

E no ponto x = 2 a função vale exatamente 1 , ou seja, intervalo fechado:

f 2 = 1

Passo 4

Então, uma função que cabe aqui é:

f x = x + 1 ,   s e   x < 0 x 2 - 1 ,   s e   0 < x < 2 x - 1   ,   s e   x ≥ 2  

E, plotando o gráfico:

Resposta

f x = x + 1 ,   s e   x < 0 x 2 - 1 ,   s e   0 < x < 2 x - 1   ,   s e   x ≥ 2

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