Enunciado

Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por I - V I e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

x = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v ,

y = sen 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v ,

z = sen 3 ⁡ v

Passo 1

Galera, quando v é constante, temos que z = sen ⁡ v é uma constante, então a curva de grade correspondente está no plano horizontal. Vários gráficos apresentados na questão apresentam curvas de grade horizontais, mas as curvas para essa superfície não são nem elipses nem linhas retas, restando apenas o gráfico   I I I .

As curvas de grade verticais que vemos na superfície correspondem a u constante, que nos leva a ter x = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v , y = s e n 3 u cos 3 ⁡ v , então a curva de grade correspondente está no plano vertical y = tan 3 ⁡ u x através do eixo z .

Resposta

Gráfico I I I .

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Desenhe a imagem de σ u , v = ( cos ⁡ v ,s e nv ,u ) , com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 π .
Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = us e nv e z = u .Mostre que a transformação σ transforma a reta u = u 1 ( u 1 ≠ 0 constante) numa circunferência. Desenhe tal circunferência no c
Seja σ u , v , w = ( u cos ⁡ v ,us e nv ,w ) , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 π e 0 ≤ w ≤ 1 . Desenhe a imagem de σ .
Seja σ a transformação do exercício anterior. Verifique que σ transforma o retângulo 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π e w = 1, em um círculo. Desenhe tal círculo.
Considere a transformação σ (θ, ρ, φ) = (x, y, z) onde x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ.Desenhe σ (B) onde B é o conjunto ρ = ρ 1 ( ρ 10 constante), 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.Desenhe σ