Enunciado

Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso.

f x = x 2 - 9 s e x ≤ - 3 9 - x 2 s e - 3 < x < 3 x 2 - 9 s e x ≥ 3

a ) lim x → - 3 - ⁡ f x

b ) lim x → - 3 + ⁡ f x

c ) lim x → - 3 ⁡ f x

d ) lim x → 3 - ⁡ f x

e ) lim x → 3 + ⁡ f x

f ) lim x → 3 ⁡ f x

Passo 1

Faala ae, beleza?

Vamos começar fazendo um esboço de f x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa f x .

O enunciado disse que:

f x = x 2 - 9 s e x ≤ - 3 9 - x 2 s e - 3 < x < 3 x 2 - 9 s e x ≥ 3

Beleza! Então, teremos uma hipérbole para x ≥ 3 e x ≤ - 3 . E teremos uma semicircunferência de raio 3 em - 3 ≤ x ≤ 3 . Ok? Plotando esse cara, chegamos nesse gráfico:

Deixei cada parte da função colorida para entender melhor os intervalos, beleza? Então, em vermelho e verde, temos as hipérboles. E em azul, a semicircunferência. Agora, vamos calcular esses limites!

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → - 3 - ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de - 3 pela esquerda. Que é se aproximar de - 3 por valores menores que - 3 .

Olhando o gráfico, chegando perto de - 3 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 0 .

Podemos achar isso calculando o limite, também! Quando temos valores menores que - 3 , nossa função se comporta de acordo com x 2 - 9 , certo? Só olhar para a definição:

f x = x 2 - 9 s e x ≤ - 3 9 - x 2 s e - 3 < x < 3 x 2 - 9 s e x ≥ 3

Então, para calcular esse limite com valores pela esquerda de - 3 :

lim x → - 3 - ⁡ x 2 - 9

Substituindo x = - 3 :

lim x → - 3 - ⁡ x 2 - 9 = lim x → - 3 - ⁡ ( - 3 ) 2 - 9

lim x → - 3 - ⁡ 9 - 9 = 0

Opa, exatamente o que esperávamos!

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → - 3 + ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de - 3 pela direita. Que é se aproximar de - 3 por valores maiores que - 3 .

Olhando o gráfico, chegando perto de - 3 pela direita, a nossa função se aproxima de 0 , também.

Da mesma forma que no passo anterior, podemos achar isso calculando o limite, também! Quando temos valores maiores que - 3 , nossa função se comporta de acordo com 9 - x 2 , certo? Só olhar para a definição:

f x = x 2 - 9 s e x ≤ - 3 9 - x 2 s e - 3 < x < 3 x 2 - 9 s e x ≥ 3

Então, para calcular esse limite com valores pela direita de - 3 :

lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2

Substituindo x = - 3 :

lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2 = lim x → - 3 + ⁡ 9 - ( - 3 ) 2

lim x → - 3 + ⁡ 9 - 9 = 0

Bateu mais uma vez!

Passo 4

Letra c )

lim x → - 3 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em - 3 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 0 , são iguais. Logo, se os limites laterais:

lim x → - 3 + ⁡ f x = lim x → - 3 - ⁡ f x 0

Nós temos que:

lim x → - 3 ⁡ f x = 0

Passo 5

Letra d )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 3 - ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda. Que é se aproximar de 3 por valores menores que 3 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 3 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 0 .

Podemos achar isso calculando o limite! Quando temos valores menores que 3 , nossa função se comporta de acordo com 9 - x 2 , certo? Só olhar para a definição:

f x = x 2 - 9 s e x ≤ - 3 9 - x 2 s e - 3 < x < 3 x 2 - 9 s e x ≥ 3

Então, para calcular esse limite com valores pela esquerda de 3 :

lim x → 3 - ⁡ 9 - x 2

Substituindo x = 3 :

lim x → 3 - ⁡ 9 - x 2 = lim x → 3 - ⁡ 9 - ( 3 ) 2

lim x → 3 - ⁡ 9 - 9 = 0

Passo 6

Letra e )

Agora o outro

lim x → 3 + ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela direita. Que é se aproximar de 3 por valores maiores que 3 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 3 pela direita, a nossa função se aproxima de 0 .

Podemos achar isso calculando o limite! Quando temos valores maiores que 3 , nossa função se comporta de acordo com x 2 - 9 , certo? Só olhar para a definição:

f x = x 2 - 9 s e x ≤ - 3 9 - x 2 s e - 3 < x < 3 x 2 - 9 s e x ≥ 3

Então, para calcular esse limite com valores pela direita de 3 :

lim x → 3 + ⁡ x 2 - 9

Substituindo x = 3 :

lim x → 3 + ⁡ x 2 - 9 = lim x → 3 + ⁡ ( 3 ) 2 - 9

lim x → 3 + ⁡ 9 - 9 = 0

Passo 7

Letra f )

lim x → 3 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 3 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras d e e , os dois limites laterais vão ser 0 , são iguais. Logo, se os limites laterais:

lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ f x 0

Nós temos que:

lim x → 3 ⁡ f x = 0

Resposta

a )

lim x → - 3 - ⁡ f x = 0

b )

lim x → - 3 + ⁡ f x = 0

c )

lim x → - 3 ⁡ f x = 0

d )

lim x → 3 - ⁡ f x = 0

e )

lim x → 3 + ⁡ f x = 0

f )

lim x → 3 ⁡ f x = 0

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Prove que existe δ0 tal que 1 - δx1 + δ ⟹ 2 - 1 2x 5 + 3 x x 2 + 12 + 1 2
Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r0 , α e β tais que, para todo x ∈ D f , 0x - pr ⟹ αf xβ .Interprete graficamente.
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇔ lim x → p ⁡ f x - L = 0 .
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 2 ⁺ ⁡ g x - g 2 x - 2o n d eg x = x s e x ≥ 2 x 2 2 s e x2 ⁺
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 1 ⁺ ⁡ f x - f 1 x - 1o n d ef x = x + 1 s e x ≥ 1 2 x s e x1 ⁺