Enunciado

Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso.

g x = - x 3 s e x ≤ 0 x 3 s e 0 < x

a ) lim x → 0 + ⁡ g x

b ) lim x → 0 - ⁡ g x

c ) lim x → 0 ⁡ g x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de g x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa g x

O enunciado disse que

g x = - x 3 s e x ≤ 0 x 3 s e 0 < x

Essa função é cheio de raiz e tudo mais, isso fica meio chatinho de ver como fica né?

Vamos tentar olhar cada intervalo separadamente

Primeiro, x ≤ 0

y = - x 3

x = - y 3

Então, Podemos ver esse gráfico como o de uma função de 3 º gau em y . E desenhar essa função para x ≤ 0 . Vamos fazer essa parte para ver como fica

Agora, x > 0

y = x 3

x = y 3

Então, Podemos ver esse gráfico como o de uma função de 3 º gau em y . E desenhar essa função para x > 0 . Vamos fazer essa parte para ver como fica

Juntando os dois

Aqui tem um detalhe importante, repara que eles se encontram direitinho em x = 0 , então devemos colocar uma bola fechada ali

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 0 + ⁡ g x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de 0 .

lim x → 0 + ⁡ g x = 0

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → 0 - ⁡ g x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 0 .

lim x → 0 - ⁡ g x = 0

Passo 4

Letra c )

lim x → 0 ⁡ g x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 0 e 0 , respectivamente.

Eles são iguais, então

lim x → 0 ⁡ g x = 0

Resposta

a )

lim x → 0 + ⁡ g t = 0

b )

lim x → 0 - ⁡ g t = 0

c )

lim x → 0 ⁡ g t = 0

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Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ0 tal que 0x - pδ ⟹ f xg x
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇔ lim x → p ⁡ f x - L = 0
Prove: lim x → p ⁡ f x x - p = 0 ⇔ lim x → p ⁡ f x x - p = 0 .
Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r0 e M0 tais que, para todo x ∈ D f , 0x - pr ⟹ f x ≤ M .
Prove que existe δ0 tal que 1 - δx1 + δ ⟹ 2 - 1 3x 2 + x2 + 1 3