Enunciado

Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r > 0 , α e β tais que, para todo x ∈ D f ,

0 < x - p < r ⟹ α < f x < β .

Interprete graficamente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então L - ε < f x < L + ε

Passo 2

Vamos supor que   r > 0 , e sendo lim x → p ⁡ f x = L , para todo ε > 0 tal que para todo x ∈ D f :

0 < x - p < r ⟹ L - ε < f x < L + ε

Para α = L - ε e β = L + ε :

0 < x - p < r ⟹ α < f x < β

Graficamente temos:

Aqui temos que f x está próximo de L quando x está próximo de p .

Pois no eixo x temos 0 < x - a < δ . Então em f ( x ) , temos L - ε < f x < L + ε .

Com isso podemos dizer que os valores de f x ficarem dentro de uma distância de ε 2 de p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dê exemplo de uma função f tal que lim x → p ⁡ f x existe, mas lim x → p ⁡ f x não exista.
Prove: lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0
Suponha que existe r0 tal que f x ≥ 0 para 0x - pr e que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que L ≥ 0 .(Sugestão: Suponha L0 e use a conservação do sinal.)
Estime o valor do limite (se existir) pela avaliação da função nos números dados (usar 6 casas decimais). lim x → 3 ⁡ x 2 - 3 x x 2 - 9 x = 3,1 ; 3,05 ; 3,01 ; 3,001 ; 2,9 ; 2,95 ; 2,999 ; 2,9999
Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas. lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 2lim x → 1 + ⁡ f x = - 2 f 1 = 2