Faça o gráfico da curva y = x^3(8 - x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x 3 ( 8 - x )

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes. (raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado dentro de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 8   e x = 0 , temos que f x = 0 , ou seja,

f 8 = 8 3 8 - 8 = 8 3 . 0 = 0

E,

f 0 = 0 3 8 - 0 = 0 . 8 - 0 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do Produto,

f ' x = 3 x 2 8 - x + x 3 - 1

= 3 x 2 8 - x - x 3

= 24 x 2 - 3 x 3 - x 3

= 24 x 2 - 4 x 3

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença

f ' ' x = 2 . 24 x - 3 . 4 x 2

= 48 x - 12 x 2

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ( x ) = 24 x 2 - 4 x 3 = 0

⇒ x 2 24 - 4 x = 0

⇒ x = 0   ou x = 6

Sendo assim temos dois candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 0 )     x = 0   , f ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 0,2 )     x = 0     , f ( x ) irá assumir valores positivos (cresecente). Logo, x = 0 não é nem um ponto de máximo nem de mínimo no intervalo de ( - ∞ , 2 ) .

Perceba que para valores próximos de 0   pela esquerda f ( x ) irá assume valores negativos (decrescente). Já para valores próximos de 0   pela direita, f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, não assume nem máximo e nem mínimo.

Já, para valores próximos de 6   pela esquerda f ( x ) irá assume valores positivos (crescente). E para valores próximos de 6   pela direita, f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, assume um máximo em x = 6 .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = 48 x - 12 x 2 = 0 ⇒ x 48 - 12 x = 0

⇒ x = 0   ou x = 4

Sendo assim temos dois candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que para valores próximos de 0   pela esquerda f ( x ) irá assume valores negativos (concavidade para baixo). Já para valores próximos de 0   pela direita, f ( x ) irá assumir valores positivos (concavidade para cima). Logo, há mudança de sinal.

Já, para valores próximos de 4   pela esquerda f ( x ) irá assume valores positivos (concavidade para cima). E para valores próximos de 4   pela direita, f ( x ) ainda irá assumir valores positivos (concavidade para cima). Logo, não há mudança de sinal.

Sendo assim, x = 0 é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há uma mudança de concavidade em x = 0 .

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ f x = x 3 8 - x = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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