Enunciado

Faça o exercício 16 supondo que o contêiner tenha uma tampa feita do mesmo material usado nos lados.

Passo 1

E aeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para refazer a questão 16 só que supondo que o contêiner tenha uma tampa feita do mesmo material usado nos lados.

Em outras palavras, queremos calcular o custo dos materiais para que o contêiner saia o mais barato possível.

Isso tudo sabendo que o contêiner deve ter volume de 10 m 3 e que o comprimento da base deve ser o dobro do comprimento da largura.

Também temos que o material dos lados custa $ 6 por metro quadrado.

Dessa forma, vamos minimizar esses custos aplicando derivações.

Assim, lembre-se que para descobrirmos pontos de máximo ou mínimo, basta derivarmos uma função e igualar a zero!!

E aí? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Seja o contêiner:

Temos que o volume do contêiner é:

V = 2 w ⋅ w ⋅ h = 10 ∴

2 w 2 h = 10

Agora, precisamos calcular a custo total do contêiner, que é a soma do custo da base com o da área lateral com o da tampa.

Então começando pelo custo da base, temos:

C b = 10 ⋅ 2 w ⋅ w ∴

C b = 20 w 2

Para a lateral, temos:

C L = 6 2 2 w ⋅ h + 2 w ⋅ h ∴

C L = 6 4 w h + 2 w h ∴

C L = 24 w h + 12 w h ∴

C L = 36 w h

E, também:

C t = 6 ⋅ 2 w ⋅ w ∴

C t = 12 w 2

Por fim, somando os valores calculados, temos o custo total:

C = 20 w 2 + 36 w h + 12 w 2 = 32 w 2 + 36 w h

Passo 3

Do volume, podemos escrever:

h = 5 w 2

Substituindo no custo, ficamos com:

C = 32 w 2 + 36 w ⋅ 5 w 2 ∴

C = 32 w 2 + 180 w ∴

C = 32 w 3 + 180 w

Para encontrar o mínimo, basta derivarmos e igualarmos a zero, então:

C ' = 96 w 3 - 32 w 3 - 180 w 2 ∴

C ' = 64 w 3 - 180 w 2

Igualando a zero:

64 w 3 - 180 w 2 = 0 ∴

64 w 3 - 180 = 0 ∴

64 w 3 = 180 ∴

w ≈ 1,41   m

Encontrando h :

h = 5 w 2 = 5 1,41 2 ≈ 2,5   m

Passo 4

Agora, só falta calcular o custo mínimo :

C = 32 w 2 + 36 w h ∴

C = 32 1,41 2 + 36 1,41 2,5 ∴

C = 190,52

Logo, o custo mínimo será de   $   190,52 .

Obs: Note que o valor pode resultar em algo ligeiramente diferente por conta de arredondamentos.

Resposta

O custo mínimo será de $   190,52 .

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