Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

x 2 + x 1 - x 2

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

- x 2 + - x 1 - - x 2 = x 2 - x 1 - x 2

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 + x 1 - x 2 → 0 = x 2 + x 1 - x 2 → 0 = x 2 + x → x x + 1 = 0 →

x = 0

x = - 1

Porém x = - 1 não possui valor de f x .

y = 0 2 + 0 1 - 0 2 = 0

Pronto, sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

1 - x 2 = 0 → x 2 = 1 → x = 1

Temos então que possui assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é positiva no intervalo 0,1 e negativa nos intervalos - ∞ , 0 e 1 , + ∞ .

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x 1 - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x x 2 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 x 2 - 1 = 1 - 1 = - 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 1 - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x x 2 1 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 x 2 - 1 = 1 - 1 = - 1

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = - 1 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 2 x + 1 1 - x 2 - x 2 + x 0 - 2 x 1 - x 2 2 = 2 x - 2 x 3 + 1 - x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 1 - x 2 2 =

= 2 x + 1 + x 2 1 - x 2 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

2 x + 1 + x 2 1 - x 2 2 = 0 → 2 x + 1 + x 2 = 0 → x = - 1

Porém esse valor zera o denominador, então f não tem ponto relativo.

Passo 7

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 2 + 0 + 2 x 1 - x 2 2 - 2 x + 1 + x 2 2 1 - x 2 0 - 2 x 1 - x 2 4 =

= 2 + 2 x 1 - x 2 + 4 x 2 x + 1 + x 2 1 - x 2 3 = 2 - 2 x 2 + 2 x - 2 x 3 + 8 x 2 + 4 x + 4 x 3 1 - x 2 3 =

= 2 + 6 x 2 + 6 x + 2 x 3 1 - x 2 3

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

2 + 6 x 2 + 6 x + 2 x 3 1 - x 2 3 = 0 → 2 + 6 x 2 + 6 x + 2 x 3 = 0 → x = - 1

Entretanto x = - 1 zera o denominador, então não possui ponto de inflexão.

Passo 8

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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