Faça o gráfico da curva y = (x^3 + 2) / (2x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x 3 + 2 2 x

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = 0 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x ≠ 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f x = 0 ,   perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x 3 + 2 = 0 ⇒ x 3 = - 2   ⇒ x = - 2 3   ⇒ x = - 2 3  

Logo, x = - 2 3 é uma raíz para f x , pois

f - 2 3 = - 2 3 3 + 2 2 - 2 3 = - 2 + 2 - 2 ( 2 3 ) = 0 - 2 ( 2 3 ) = 0

Sendo assim f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f ' x = 3 x 2 ( 2 x ) - ( 2 ) ( x 3 + 2 ) 2 x 2

= 6 x 3 - 2 x 3 - 4 4 x 2

= 4 x 3 - 4 4 x 2

= x 3 - 1 x 2

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f ' ' x = 3 x 2 . x 2 - ( 2 x ) ( x 3 - 1 ) x 4

= 3 x 4 - 2 x 4 + 2 x x 4

= x 4 + 2 x x 4

= x ( x 3 + 2 )   x 4

= x 3 + 2   x 3

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' x = x 3 - 1 x 2 = 0 ⇒ x 3 - 1 = 0   ⇒ x 3 = 1   ⇒ x = 1

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 )     x = 1   , f ' ( x ) assume valores negativos ( f x   decresce). E para valores dentro do intervalo ( 1 , + ∞ )     x = 1   , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x   cresce). Logo, x = 1 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , ∞ ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = x 3 + 2   x 3 = 0 ⇒ x 3 + 2   = 0   ⇒ x 3 = - 2 ⇒ x = - 2 3

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 2 3 )     x = - 2 3   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo - 2 3 , 0   x = - 2 3   , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x tem concavidade para cima). Logo, x = - 2 3   não é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) ,   ou seja, f ( x ) não possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = l i m x → ∞ x 3 + 2 2 x = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞     e l i m x → 0 + f x = ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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