Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x^3 + 2)/(2 x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x^3 + 2)/(2 x)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = 0 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x^3 + 2 = 0 => x^3 = - 2 => x = root(3)(- 2) => x = - root(3)(2)

Logo, x = - root(3)(2) é uma raíz para f (x) , pois

f (- root(3)(2)) = ((- root(3)(2))^3 + 2)/(2 (- root(3)(2))) = (- 2 + 2)/(- 2 ( root(3)(2) )) = (0)/(- 2 ( root(3)(2) )) = 0

Sendo assim f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = (3 x^2 ( 2 x ) - ( 2 ) ( x^3 + 2 ))/((2 x)^2)

= (6 x^3 - 2 x^3 - 4)/(4 x^2)

= (4 x^3 - 4)/(4 x^2)

= (x^3 - 1)/(x^2)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = (3 x^2 . x^2 - ( 2 x ) ( x^3 - 1 ))/(x^4)

= (3 x^4 - 2 x^4 + 2 x)/(x^4)

= (x^4 + 2 x)/(x^4)

= (x ( x^3 + 2 ))/(x^4)

= (x^3 + 2)/(x^3)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = (x^3 - 1)/(x^2) = 0 => x^3 - 1 = 0 => x^3 = 1 => x = 1

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 ) x = 1 , f ' ( x ) assume valores negativos ( f (x) decresce). E para valores dentro do intervalo ( 1 , + oo ) x = 1 , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f (x) cresce). Logo, x = 1 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , oo ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (x^3 + 2)/(x^3) = 0 => x^3 + 2 = 0 => x^3 = - 2 => x = - root(3)(2)

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - oo , - root(3)(2) ) x = - root(3)(2) , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f (x) tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo (- root(3)(2) , 0) x = - root(3)(2) , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f (x) tem concavidade para cima). Logo, x = - root(3)(2) não é um ponto de inflexão no intervalo de ( - oo , 0 ) , ou seja, f ( x ) não possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (x^3 + 2)/(2 x) = oo

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> 0^-)(lim) f (x) = - oo e underset(x -> 0^+)(l i m) f (x) = oo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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