Enunciado

O gráfico mostrado corresponde ao da função população P t de cultura em laboratório de células de levedo. Use o método do Exemplo 1 para obter o gráfico da derivada P ' t . O que o gráfico de P ' nos diz sobre a população de levedos?

Passo 1

Fala galera! Prontos para resolver esse exercício?

Nele vamos treinar como esboçar o gráfico de uma derivada e interpretá-lo, tudo isso a partir do gráfico da função original.

Não vamos fazer nenhuma conta, só aplicar a teoria para ver se a gente ta entendendo tudo direitinho sobre o assunto!

Foi dado o gráfico P t de células de levedo em função do tempo

E usando o exemplo 1, temos que esboçar o gráfico de P ' t .

Tem ideia de como fazer isso?

O exemplo 1 usa uma estimativa da inclinação da reta tangente ao gráfico da função e a partir desses valores, esboça o gráfico da derivada.

Veja só!

Passo 2

Para desenhar o gráfico de P ' ( t ) , temos que ficar atentos a algumas características dao gráfico de P ( t ) . Primeiro: O gráfico de P ( t ) sempre está crescendo, logo, a derivada vai ser sempre positiva!

Para confirmar isso, primeiro vamos desenhar várias retas tangentes no gráfico:

Perceba que as retas são crescentes ao longo do gráfico inteiro, logo, suas inclinações são positivas. Como a derivada nada mais é do que a inclinação da reta tangente à determinado ponto, confirmamos que a derivada é sempre positiva!

Além disso, podemos afirmar mais duas coisas: primeiro, que a máxima derivada ocorre mais ou menos no ponto t = 6   h o r a s (reta tangente mais inclindada) e, em segundo lugar, que a medida que o tempo passa, lá por volta de t = 15   h o r a s , a derivada vai se aproximando de zero (as retas tangentes vão ficando cada vez menos inclinadas).

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Já analisamos o gráfico de P ( t ) , então podemos desenhar quem é P ' t ! Vamos ter um gráfico todo acima do eixo x (valores de P ' t sempre positivos), que vai crescendo até atingir um pico quando t = 6   h o r a s . Depois, o gráfico vai caindo (as retas tangentes vão ficando menos inclinadas) até ficar bem pertinho do zero quando t = 15   h o r a s mais ou menos. Olha só como vai ficar o esboço então:

Bacana, não é?

Passo 4

Agora, precisamos analisar o que esse gráfico de P ' t significa! Se analisarmos qual será a unidade da derivada, teremos que ela será dada em l e v e d u r a s / h o r a . Ou seja: teremos o quão rápido o número de leveduras irá variar em cada hora!

A partir da conclusão que tiramos, podemos ver que o gráfico mostra a velocidade do crescimento populacional dessas leveduras. Elas vão crescendo rapidamente, sendo que a população aumenta a todo vapor lá por t = 6   h o r a s .

Depois disso, as leveduras vão se reproduzindo mais divagar, até que a população quase não cresce a partir de t = 15   h o r a s .

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

O esboço de P ' ( t ) vai ser:

Podemos concluir que P ' ( t ) representa a velocidade do crescimento populacional das leveduras. A população vai crescendo cada vez mais rápido, atingindo seu auge de velocidade quando t = 6   h o r a s . Depois, ela vai crescendo cada vez mais devagar, se mantendo a um número quase que constante após t = 15   h o r a s .

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