Enunciado

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico?

f x = s e n x

Passo 1

E aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos que fazer um esboço cuidadoso de f e abaixo dele o gráfico de f ’ . Além disso temos que sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico.

A função no caso é dada por

f x = s e n x

Veja só! 😉

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f x = s e n ( x ) vamos primeiro montar uma tabelinha:

Agora plotando o gráfico:

Beleza! Agora que sabemos o formato desse cara, temos que esboçar o gráfico de f ' ( x ) . Para isso, nós vamos ressaltar alguns pontos importantes no gráfico de f ( x ) : os pontos onde temos tangentes na horizontal (pontos onde a derivada é zero) e pontos onde a tangente tem a inclinação máxima (derivada máxima). Olha só como fica a tangente nesses pontos:

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos tentar esboçar quem é f ' ( x ) ! Ah, antes que eu esqueça, vou fazer um lembrete aqui: Quando f ( x ) está crescendo em um intervalo, f ' ( x ) será positiva. De forma parecida, quando f ( x ) estiver decrescendo, f ' ( x ) será negativa. Isso é importantíssimo para a gente nesse momento, fechou?

Levando em conta os pontos que destacamos e essa regrinha que acabamos de comentar, olha só como vai ficar o esboço de f ' ( x ) em comparação com f ( x ) :

Nosso esboço está pronto! Se analisarmos como ficou f ' ( x ) , percebemos que seu gráfico será periódico. Olhando também os pontos x = π 2 e x = 3 π 2 , podemos ver que f ' x = 0 . Deu para notar? Assim temos mais uma pista de quem é f ' ( x ) !

Analisando o que descobrimos, podemos sugerir que a derivada de f x = s e n x é

f ' x = cos ⁡ x

Dá para sugerir isso, inclusive, se você sabe como é o gráfico função cosseno! Vai perceber que ficou igualzinho ao da nossa derivada ;)

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

O esboço de f ' ( x ) vai ficar dessa forma:

E a expressão que podemos sugerir para essa derivada é f ' x = cos ⁡ x .

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