Enunciado

Faça o gráfico das curvas nos Exercícios 27-42.

29. y = - x 3 + 6 x 2 - 9 x + 3

Passo 1

Vamos usar o teste da segunda derivada para concavidade:

y ' = - 3 x 2 + 12 x - 9

y ' ' = - 6 x + 12

Para valores de x maiores que 2, y ' ' < 0 , ou seja, o gráfico de y é côncavo para baixo.

Para valores de x menores que 2, y ' ' > 0 , ou seja, o gráfico de y é côncavo para cima.

Em x = 2 temos um ponto de inflexão.

Passo 2

Olhando a primeira derivada podemos identificar os máximos e mínimos locais:

y ' = - 3 x 2 + 12 x - 9

0 = - 3 x 2 + 12 x - 9

0 = - x 2 + 4 x - 3

x = - 4 ± 4 2 - 4 - 1 - 3 2 ( - 1 )

x = - 4 ± 4 - 2

x = - 4 ± 2 - 2

x = 3   o u   x = 1

Como em x = 3 o gráfico é côncavo para baixo esse ponto é um máximo local. E como em x = 1 o gráfico é côncavo para cima esse ponto é um mínimo local.

Passo 3

Com essas informações já conseguimos fazer um bom esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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