Enunciado

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Obtenha os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o calculo para achar essas quantidades exatamente.

f x = x 2 + 11 x - 20 x 2

Passo 1

Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?

Fazendo a derivada primeira:

f x = x 2 + 11 x - 20 x 2

f ' ( x ) = - 11 x - 2 + 40 x - 3 = x - 3 ( 11 x - 40 )

f ' ' ( x ) = 22 x - 3 - 120 x - 4 = 2 x - 4 ( 11 x - 60 )

Assim, temos que o gráfico de f é:

,

Passo 2

Fazendo as estimativas, temos que: estimamos que f x = x 2 + 11 x - 20 x 2 é crescente em ( 0 ,   3.6 ) , e decrescente em - ∞ , 0 e ( 3.6 ,   ∞ ) . O máximo local em f 3.6 ≈ 2.5   e sem um mínimo local.

Para a concavidade, temos que f   tem concavidade para cima em ( 5.5 ,   ∞ ) e para baixo em ( - ∞ ,   0 ) e ( 0 ,   5.5 ) .

O ponto de inflexão é localizado em ( 5.5 ,   2.3 ) .

Agora para encontrar os valores exatos, podemos ver pela derivada primeira que:

f ' ( x ) = 24 x 2 - 6 x = 6 x ( 4 x - 1 )

Quando essa função é positiva ( f é crescente) para ( 0 , 40 11 ) ; e negativa ( f é decrescente) para ( - ∞ , 0 ) e em ( 40 11 , ∞ ) . O máximo local em x = 40 11 é:

f x = ( 40 11 ) 2 + 11 ( 40 11 ) - 20 ( 40 11 ) 2 = 201 80

E sem um mínimo local.

Para o gráfico de f ' ' x = 2 x - 4 ( 11 x - 60 ) , temos que f   tem concavidade para cima em ( 60 11 , ∞ ) e ( - ∞ , 1 8 ) . E, tem concavidade para baixo em ( - ∞ ,   0 ) e ( 0 , 60 11 ) .

O ponto de inflexão é localizado em 60 11 ,   f 60 11 = ( 60 11 ,   - 211 90 ) .

Finish!!

Resposta

Resposta no Passo 2.

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