Enunciado

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Obtenha os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o calculo para achar essas quantidades exatamente.

f x = x 9 - x 2

Passo 1

Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?

Fazendo a derivada primeira:

f x = x 9 - x 2

f ' x = - x 2 9 - x 2 + 9 - x 2 = 9 - 2 x 2 9 - x 2

(Para a derivada segunda usamos a regra do quociente):

f ' ' x = 9 - x 2 - 2 x + x 2 1 2 9 - x 2 - 1 2 ( - 2 x ) 9 - x 2 - x 9 - x 2 - 1 2

= x ( 2 x 2 - 27 ) 9 - x 2 - 3 2

Assim, temos que o gráfico de f é:

,

Passo 2

Fazendo as estimativas, temos que: estimamos que f x = x 9 - x 2 é crescente em ( - 2.1 ,     2.1 ) , e decrescente em - 3 ,   - 2.1 e ( 2.1 ,     3 ) . O máximo local em f 2.1 ≈ 4 . 5   e um mínimo local em f - 2.1 ≈ - 4.5 .

Para a concavidade, temos que f   tem concavidade para cima em ( - 3 ,   0 ) e para baixo em ( 0 ,   3 ) .

O ponto de inflexão é localizado em ( 0 ,   0 ) .

Agora para encontrar os valores exatos, podemos ver pela derivada primeira que:

f ' x = - x 2 9 - x 2 + 9 - x 2 = 9 - 2 x 2 9 - x 2

Quando essa função é positiva ( f é crescente) para ( - 3 2 2 , 3 2 2 ) ; e negativa ( f é decrescente) para ( - 3 , - 3 2 2 ) e em ( 3 2 2 ,   3 ) . O máximo local em x = 3 2 2 é:

f 3 2 2 = 3 2 2 9 - ( 3 2 2 ) 2 = 9 2

E um mínimo local em f 3 2 2 = - 9 2 .

Para a derivada segunda:

f ' ' x = x ( 2 x 2 - 27 ) 9 - x 2 - 3 2

temos que f   tem concavidade para cima em ( - 3,0 ) . E, tem concavidade para baixo em ( 0 ,   3 ) .

O ponto de inflexão é localizado em ( 0,0 ) .

Finish!!

Resposta

Resposta no Passo 2.

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Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co
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