Enunciado

Obtenha os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o calculo para achar essas quantidades exatamente.

f x = 8 x 3 - 3 x 2 - 10

Passo 1

Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?

Fazendo a derivada primeira:

f x = 8 x 3 - 3 x 2 - 10

f ' x = 24 x 2 - 6 x

f ' ' x = 48 x - 6

Assim, temos que os gráficos de f ,   f ' são, respectivamente:

,

Passo 2

Fazendo as estimativas, temos que: estimamos que f x = 8 x 3 - 3 x 2 - 10 é crescente em ( - ∞ ,   0 ) e ( 0.25 ,     ∞ ) , e decrescente em 0 ,   0 .   25 . O máximo local em f 0 = - 10   e um mínimo local em f 0.25 ≈ - 10.1 ..

Para a concavidade, temos que f   tem concavidade para cima em ( 0.1 ,   ∞ ) e para baixo em ( - ∞ ,   0.1 ) .

O ponto de inflexão é localizado em ( 0.1 ,   - 10 ) .

Agora para encontrar os valores exatos, podemos ver pela derivada primeira que:

f ' ( x ) = 24 x 2 - 6 x = 6 x ( 4 x - 1 )

Quando essa função é positiva ( f é crescente) para ( - ∞ , 0 ) e ( 1 4 ,   ∞ ) ; e negativa ( f é decrescente) para ( 0 , 1 4 ) . O máximo local em x = 0 é f 0 = - 10 e o mínimo local é x = 1 4 , então, f 1 4 = 1 8 - 3 16 - 10 = - 161 16 .

Para o gráfico de f ' ' x = 48 x - 6 = 6 ( 8 x - 1 ) , temos que f   tem concavidade para cima em ( 1 8 , ∞ ) e ( - ∞ , 1 8 ) . E, tem concavidade para baixo em ( - 2 ,   - 1.1 ) e ( 0.1 ,   1 ) .

O ponto de inflexão é localizado em 1 8 ,   f 1 8 = ( 1 8 ,   - 321 32 ) .

Finish!!

Resposta

Resposta no Passo 2.

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