Enunciado

Faça o gráfico das curvas nos Exercícios 27-42.

30. y = ( 1 / 8 ) ( x 3 + 3 x 2 - 9 x - 27 )

Passo 1

Vamos usar o teste da segunda derivada para concavidade:

y ' = ( 1 / 8 ) ( 3 x 2 + 6 x - 9 )

y ' ' = ( 1 / 8 ) ( 6 x + 6 )

Para valores de x maiores que - 1 , y ' ' > 0 , ou seja, o gráfico de y é côncavo para cima.

Para valores de x menores que - 1 , y ' ' < 0 , ou seja, o gráfico de y é côncavo para baixo.

Em x = - 1 temos um ponto de inflexão.

Passo 2

Olhando a primeira derivada podemos identificar os máximos e mínimos locais:

y ' = ( 1 / 8 ) ( 3 x 2 + 6 x - 9 )

0 = ( 1 / 8 ) ( 3 x 2 + 6 x - 9 )

0 = 3 x 2 + 6 x - 9

x 2 + 2 x - 3 = 0

x = - 2 ± 2 2 - 4 1 - 3 2 ( 1 )

x = - 2 ± 16 2

x = - 2 ± 4 2

x = - 3   o u   x = 1

Como em x = - 3 o gráfico é côncavo para baixo esse ponto é um máximo local. E como em x = 1 o gráfico é côncavo para cima esse ponto é um mínimo local.

Passo 3

Com essas informações já conseguimos fazer um bom esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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