Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

35-

y = x 2 3 × 5 2 - x

Passo 1

Primeiro vamos fazer distributiva nessa função:

y = 5 2 x 2 3 - x 5 3

Uma vez que :

x 2 3 × ( - x ) = - x 2 3 + 1

Passo 2

Agora fazendo a primeira derivada dessa função nós temos:

y ' = 2 3 5 2   x - 1 3 - 5 3 x 2 3

O que nos dá:

y ' = 5 3 x - 1 3 - 5 3 x 2 3

Agora fazendo a segunda derivada temos:

y ' ' = - 5 9 x - 4 3 - 10 9   x - 1 3

Passo 3

Agora precisamos descobrir seus pontos de concavidade pra isso precisamos fazer y ' = 0

5 3 x - 1 3 - 5 3 x 2 3 = 0

Cortando 5 3 temos :

x 2 3 = x 3

Elevando-se ao cubo:

x 2 = x

Logo x = 0 satisfaz a igualdade logo ela representa uma concavidade.

E dividindo por x para x diferente de 0,

x = 1

Logo temos uma concavidade em x = 1 .

Logo encontramos:

x = 0 ;           x = 1

Passo 4

Agora precisamos descobrir o y associado a esses valores de x .

Para x = 0 ;

y 0 = 5 2 0 2 3 - 0 5 3 = 0

Para x = 1 ;

y 1 = 5 2 1 2 3 - 1 5 3 = 3 2

Logo temos como pontos críticos:

0,0       e       1 , 3 2  

Passo 5

Agora precisamos descobrir se esses pontos são máximo ou mínimo local e se existe pontos de inflexão:

Para achar os pontos de máximo e mínimo precisamos substituir os valores previamente encontrados na derivada segunda:

Para x = 0 temos:

y ' ' 0 = - 5 9 0 - 4 3 - 10 9 0 - 1 3 = 0

Como o teste de derivada segunda no ponto (0,0) deu 0 assim como o teste da derivada primeira, assumimos que não sabemos como se comporta a função nesse ponto logo ela pode ser um ponto de singularidade, ponto máximo ou mínimo local, enfim qualquer coisa. O que garantirá é como a função se comportará antes e depois desse ponto.

Agora para x = 1

y ' ' 1 =   - 5 9 1 - 4 3 - 10 9 1 - 1 3 = - 15 9

Já que deu negativo, podemos dizer que o ponto (1, 3 2 ) é máximo local

Agora para encontrarmos os pontos de inflexão precisamos ver se a derivada segunda dá zero sem com que ele tenha derivada primeiro também.

- 5 9 x - 4 3 - 10 9   x - 1 3 = 0

Cortando o denominador 9 e passando uma das parcelas pro outro lado temos:

- 5 x - 4 3 = 10 x - 1 3

Agora passando os números pro lado direito e as variáveis pro esquerdo temos e adotando x diferente de zero:

x - 4 3 + 1 3 = - 2

Logo:

x - 1 = - 2

x = - 1 2

Descobrindo a posição desse ponto temos:

y = - 1 2 2 3 × 5 2 + 1 2

O que é igual a :

y = 1 4   3 × 3

Passo 6

Agora precisamos ver se a função tem assíntotas, para isso fazer o limite dessa função para ±   ∞  

lim x → ∞ ⁡ x 2 3 × 5 2 - x

Se fizermos essa conta acharíamos :

∞ ×   - ∞ =   - ∞ ; que não é uma indeterminação .

Logo do ponto x = 1 até infinito a função somente desce

Agora para menos infinito temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 × 5 2 - x

Se fizermos a multiplicação dos limites encontraremos:

5 2 lim x → - ∞ ⁡ x 2 3   ×   -   lim x →   - ∞ ⁡ x 5 3

Onde na primeira parcela elevaremos um número negativo ao quadrado e na segunda elevando a quinta. Na primeira muda o sinal na outra não ficando:

∞ × ∞ = ∞

Passo 7

Agora precisamos organizar nossos pontos e seus resultados para podermos ver se tem concavidade para cima ou para baixo. Substituindo pontos nas suas derivadas.

Exemplo:

Para testar a concavidade no ponto -1 vou aplicar esse ponto na sua derivada segunda:

y ( - 1 ) ' ' = - 5 9 - 1 - 4 3 - 10 9   - 1 - 1 3 = - 5 9 + 10 9 = 5 9

Como deu positivo a concavidade é para cima

Como antes do ponto x = 0 a função é decrescente com concavidade para baixo e após ela a função assume uma trajetória crescente com a mesma concavidade para baixo, a função exatamente nesse ponto forma um bico. Então dizemos que nesse ponto a função tem uma singularidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x 2 + 5 25 - x ² ²
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = 1 x + ln ⁡ x
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = 8 x 2 - x 4
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = x 3 + 3 x 2
Use os guias desta seção para traçar a curva. y = e arctan ⁡ x