Enunciado

Faça o gráfico da função

y = 3 2 x - 1 x 2 3

Explique a relação entre a fórmula e o que você observa.

Passo 1

O primeiro passo é considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = 3 2 x - 1 x 2 3

Para isso precisamos reescrever f ( x ) . E isso pode ser feito calculando o MMC , ou seja,

f x = 3 2 x - 1 x 2 3 = 3 2 x 1 - 1 x 2 3 = 3 2 x   .   x - 1   .   1 1 .   x 2 3 = 3 2 x 2 -   1   x 2 3

f x = 3 2 x 2 -   1   x 2 3 = 3 2 .   x 2 - 1 2 3 x 2 3

Utilizando o famoso “quem tá no sol vai para sombra e quem está sombra vai para o sol” temos que a 2 3 = a 2 3 , então

f x = 3 2 . x 2 -   1   x 2 3   = 3 2 x 2 -   1   x 3

Sendo assim,

f x = 3 2 x 2 -   1   x 3

Passo 2

O segundo passo compreende ao item a, ou seja, teremos que observar o comportamento de f x quando x → 0 +     . Para isso, utilizaremos a regra do produto (o limite do produto é o produto dos limites)

l i m x → 0 + f x = l i m ⁡ x → 0 + 3 2 . x 2 -   1   x 3 = l i m ⁡ x → 0 + 3 2 .   l i m ⁡ x → 0 + x 2 -   1   x 3

Substiuindo x = 0 em f x teremos,

l i m x → 0 + f x = l i m ⁡ x → 0 + 3 2 .   l i m ⁡ x → 0 + x 2 -   1   x 3 = 3 2 . ( 0 ) 2 -   1   0 3 = 3 2 . -   1 2   0 3 = 3 2 . 1   0 3 = ∞

Sendo assim x = 0 é uma assíntota vertical para f ( x ) .

Passo 3

O terceiro passo compreende ao item b, ou seja, observaremos o comportamento de f x quando x → ± ∞ . Para isso, dividiremos o numerador e o denominador pela maior potência de x ,

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 .   x 2 -   1   x 3 = l i m x → ± ∞ 3 2 .   x 2 x 2 - 1 x 2 x x 2 3 =   l i m x → ± ∞ 3 2 .   1 - 1 x 2 1 x 3

= l i m x → ± ∞ x 2 - 1 2 3 x 2 3 1 = l i m x → ± ∞ x 2 - 1 2 3 x 2 3

Utilizando a regra do produto (o limite do produto é o produto dos limites),

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 - 1 x 2 1 x 3

Pela continuidade da função raíz cúbica podemos passar o limite para “dentro” da raíz,

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 - 1 x 2 1 x 3 = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 - 1 x 2 1 x 3

Pela regra do quociente (o limite do quociente é o quociente dos limites) e a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites).

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 - 1 x 2 1 x 3

= l i m x → ± ∞ 3 2 .   l i m x → ± ∞ 1 - l i m x → ± ∞ 1 x 2 l i m x → ± ∞ 1 x 3 = 3 2 .   1 - 0 0 3 = 3 2 .   1 0 3 = ∞ .

Portanto, f ( x ) não possui assíntotas horizontais, já que l i m x → ± ∞ f x ≠ L .

Passo 4

O quarto passo corresponde ao item c, ou seja, observaremos o comportamento de f x quando x → ± 1 . Realizando primeiro o caso em que x = 1 ,

Utilizando a regra do produto (o limite do produto é o produto dos limites)

l i m x → 1 f x = l i m ⁡ x → 1 3 2 . x 2 -   1   x 3 = l i m ⁡ x → 1 3 2 .   l i m ⁡ x → 1 x 2 -   1   x 3

Substituindo x = 1 em f x teremos,

l i m x → 1 f x = l i m ⁡ x → 1 3 2 .   l i m ⁡ x → 1 x 2 -   1   x 3 = 3 2 .   1 2 -   1   1 3

= 3 2 .   1 -   1   1 3 = 3 2 .   0   1 3 =   3 2 .   0 3 = 3 2 .   0 = 0 .

Utilizando as mesmas regras para o caso de x = - 1 teremos,

l i m x → - 1 f x = l i m ⁡ x → - 1 3 2 .   l i m ⁡ x → - 1 x 2 -   1   x 3 = 3 2 .   - 1 2 -   1   1 3

= 3 2 .   1 -   1   1 3 = 3 2 .   0   1 3 =   3 2 .   0 3 = 3 2 .   0 = 0 .

Sendo assim x = ± 1     não é uma assíntota vertical para f ( x ) .

Resposta

Item a. Quando x → 0 +   , f ( x ) possui uma assíntota vertical .

Item b. Quando x → ± ∞   , f ( x ) não possui assíntotas horizontais, já que l i m x → ± ∞ f x ≠ L .

Item. Quando x → ± 1   , f ( x ) valores comuns ,ou, seja sem nenhuma particularidade.

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