Enunciado

Faça o gráfico da função f x = x 4 + c x 2 + x para vários valores de c . Como mudará o gráfico quando c varia?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar o gráfico da função f x = x 4 + c x 2 + x para vários valores de c e explicar como a variação do valor de c muda esse gráfico.

Pra entender como c altera a forma do gráfico, vamos precisar fazer o gráfico de uma família de funções, que é uma coleção de funções cujas equações estão relacionadas. E pra fazer isso, vamos precisar atribuir alguns valores para c .

Então, vamos chamar c = { - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 } , substituir esses valores na equação e plotar os gráficos correspondentes, pra a partir daí verificar a influência de c no formato da curva.

Lembrando que, nesse caso, f ( x ) é um polinômio de grau 4 , então a curva terá um formato mais ou menos parecido com o de uma parábola, por conta do expoente par, beleza? Além disso, por se tratar de um polinômio, ela pode assumir qualquer valor real.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fazendo c = - 3 na função, assim vamos ter:

f x = x 4 - 3 x 2 + x

Beleza, agora vamos substituir c = - 2 e c = - 1 :

f x = x 4 - 2 x 2 + x

f x = x 4 - x 2 + x

Da mesma forma, para c = 0 , teremos:

f x = x 4 + x

Para c = 1 , temos:

f x = x 4 + x 2 + x

Para c = 2 , temos:

f x = x 4 + 2 x 2 + x

E para c = 3 , vamos ter:

f x = x 4 + 3 x 2 + x

Beleza! Agora vamos plotar essas funções para ver como a curva se altera.

Passo 3

Com o auxílio de um software, usando as diferentes funções para os diferentes valores de c que calculamos no passo anterior, vamos ter:

Vemos que para c positivo ( c > 0 ) conforme seu valor cresce, a curva vai se aproximando cada vez mais de uma parábola, pois o termo quadrático predomina. Então, a amplitude da curva é alterada à medida que c se torna mais positivo.

Para c < 0 (negativo), vemos que o formato da curva é alterada com a tendêncida de formação de dois “poços” que serão mais profundos quanto mais negativo for c . Então, ele altera os pontos de mínimo da função e as raízes do polinômio, que são os pontos onde a curva corta o eixo x .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c altera os pontos de mínimo do gráfico, à medida que se torna mais negativo, e altera a amplitude da curva à medida que se torna mais positivo.

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