Enunciado

Faça o gráfico da função f x = 1 + c x 2 para vários valores de c . Descreva como a variação de c afeta o gráfico.

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha.

Bom, esse problema pede para estudarmos o gráfico de f x = 1 + c x 2 para vários valores de c e descrever como essa variação de c afeta o gráfico da função.

Então faremos isso! Vamos supor diferente valores para c e plotar os gráficos das funções que obtivermos.

Mas aqui a primeira coisa que precisaremos ter em mente é que essa é função possui uma expressão dentro de uma raiz quadrada, e isso fará com que ela não esteja definida para todos os valores de x dependendo de qual seja o valor de c , já que raízes de índice par não admitem radicando negativo.

Então também precisaremos estudar as condições de domínio da função.

Mas vem comigo que te ajudo com isso no passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos analisar o domínio da função. Perceba que sendo

f x = 1 + c x 2

Então precisamos ter

1 + c x 2 ≥ 0

Assim:

c x 2 ≥ - 1 ⇒ x 2 ≥ - 1 c

Assim, se c > 0 , - 1 c < 0 , de modo que o domínio de f será real.

Por outro lado, se c < 0 , o domínio não será toda a reta real, ele será restrito!

Sendo assim, vamos dividir nosso problema nessas duas condições.

Passo 3

Primeiro vamos fazer os plots para c > 0 :

Se c = 1 a função será:

f x = 1 + x 2

Se c = 3 a função será:

f x = 1 + 3 x 2

Se c = 5 a função será:

f x = 1 + 5 x 2

Perceba que conforme c cresce, a curva vai se fechando, porém todas passam pelo ponto ( 0 ,   1 ) . Essas curvas são ramos de hipérboles. Veja:

Passo 4

Agora vamos ver o que acontece para c < 0 :

Se c = - 1 a função será:

f x = 1 - x 2

Se c = - 3 a função será:

f x = 1 - 3 x 2

Se c = - 5 a função será:

f x = 1 - 5 x 2

Perceba que conforme c vai ficando mais negativo, a curva vai se fechando, porém todas também passam pelo ponto ( 0 ,   1 ) . Essas curvas são ramos de arcos de elipse. Veja:

Agora as curvas são arcos de elipse!

Resposta

Quando c é positivo, temos gráficos hiperbólicos e a medida que c cresce, a curva vai se fechando, porém todas passam pelo ponto ( 0 ,   1 ) .

Quando c é negativo, temos gráficos elípticos, e a medida que c diminui a curva vai se fechando, porém todas também passam pelo ponto ( 0 ,   1 ) .

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