Enunciado

9-

Faça os gráficos das funções nos Exercícios 9 e 10. Em seguida, responda às questões.

  1. Qual é o domínio e a imagem de f ?
  2. Em que pontos c , se houver, lim x → c ⁡ f ( x ) existe?
  3. Em que pontos existe o limite a esquerda?
  4. Em que pontos existe o limite a direita?

Passo 1

O gráfico da primeira linha pode ser encontrado da seguinte forma:

y = 1 - x 2

y 2 = 1 - x 2

y 2 + x 2 = 1

O que nos dá a equação característica de uma circunferência de raio 1. Só que como ele originalmente ele nos forneceu a raiz positiva de y então temos a semicircunferência positiva só que limitada de 0 a 1, onde incluo o zero e excluo o 1, da seguinte forma em roxo no gráfico abaixo.

A segunda nos diz que temos o valor 1 indo de x de 1 a 2, onde incluo 1 e não incluo 2 como está em vermelho.

Agora a terceira só inclui o ponto ( 2,2 ) como está em laranja.

Passo 2

Letra a)

O domínio é tudo aquilo que é representável no eixo x e por mais que tenhamos alguns pontos abertos em alguns pontos temos também pontos fechados nesses mesmos pontos, logo nosso domínio é:

D :   0 ≤ x ≤ 2

Não se esquecendo de incluir esses pontos, já que temos bolinha fechada neles. Só não incluir caso fosse até infinito.

Já a imagem é tudo aquilo que se encontra no eixo y e a mesma tem um alcance limitado de 0 a 1 e depois ele pula para 2:

I :   0 < y ≤ 1   e y = 2

Onde temos bolinha aberta em y = 0 .

Passo 3

Letras b)

A função possui dois intervalos bem definidos pela quebra de continuidade que são:

[ 0,1 )

[ 1,2 )

Então temos que analisar os limites nos pontos em x = 1

Em x = 1 :

Pela esquerda temos a semicircunferência que tende a dar 0.

E pela direita a reta y = 1 , que nos fornece o valor igual a 1.

Como os limites são diferentes então não temos a bilateralidade

Como a letra b quer saber os valores de x nas quais eu possuo a bilateralidade, então tenho que descartar x = 1 , assim como o ponto x = 0 não possui limite a esquerda e o ponto x = 2 não possui limite pela direita:

( 0,1 )   ⋃ ( 1,2 )

Passo 4

Letra c)

Como pede-se quais pontos tem o limite a esquerda, logo podemos ver que somente x = 0 não o possui pois não existe gráfico a esquerda desse ponto, logo nosso domínio fica:

0 < x ≤ 2

Letra d)

Como agora pede-se quais que tem limite a direita, fica-se evidente que em x = 2 não temos gráfico para poder dizer o seu limite a direita nos dando o seguinte domínio:

0 ≤ x < 2

Resposta

  1. Domínio: 0 ≤ x ≤ 2 , Imagem: 0 < y ≤ 1   e y = 2
  2. ( 0,1 )   ⋃ ( 1,2 )
  3. 0 < x ≤ 2  
  4. 0 ≤ x < 2
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