Enunciado

37- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50

lim x → 4 ⁡ 9 - x = 5

Passo 1

Bastaria substituirmos o valor de x no limite:

9 - 4 = 5

Mais isso não é provar algebricamente o limite, e sim resolver-lo:

Para provar precisamos utilizar a definição formal do limite que é:

f x - L < ϵ → x - x 0 < δ

Isso é de uma afirmação precisamos chegar na outra.

Com os valores que a questão nos oferece temos:

x 0 = 4 ,       L = 5 ,     f x = 9 - x

9 - x - 5 < ϵ

4 - x < ϵ

Passo 2

Desmembramos a equação temos:

4 - x < ϵ

- 4 + x < ϵ

Acharíamos:

4 - ϵ < x

x < ϵ + 4

Nosso intervalo para x próximo a 4:

4 - ϵ < x < 4 + ϵ

Passo 3

Como x 0 é igual a 4 vamos encontrar o valor de δ :

x - 4 < δ

4 - δ < x < 4 + δ

Logo δ = ϵ .

Passo 4

Achando o valor de δ temos:

x - 4 < δ

9 - x - 5 < ϵ

4 - x < ϵ

Podemos fazer a seguinte alteração :

- 4 + x < ϵ

Como o sinal negativo sai do módulo como sinal positivo temos:

x + 4 < δ

O que realmente prova que δ = ϵ logo podemos dizer:

9 - x - 5 < ϵ → x - 4 < δ    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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