Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

4 e - x 2 sen ⁡ x = x 2 - x + 1

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = 4 e - x 2 sen ⁡ x - x 2 + x - 1

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, da função trigonométrica, da função constante, da função exponencial, do produto e do polinômio:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

c ' = 0

e f x ' = e f x . f ' ( x )

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 4 e - x 2 sen ⁡ x - x 2 + x - 1 ' = 4 e - x 2 - 2 x 2 - 1 sen ⁡ x + 4 e - x 2 cos ⁡ x - 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 - 0 = - 8 x e - x 2 sen ⁡ x + 4 e - x 2 cos ⁡ x - 2 x + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 4 e - x n 2 sen ⁡ x n - x n 2 + x n - 1 - 8 x n e - x n 2 sen ⁡ x n + 4 e - x n 2 cos ⁡ x n - 2 x n + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = 0,2 e x = 1,1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = 0,2 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 4 e - x 1 2 sen ⁡ x 1 - x 1 2 + x 1 - 1 - 8 x 1 e - x 1 2 sen ⁡ x 1 + 4 e - x 1 2 cos ⁡ x 1 - 2 x 1 + 1 ≈ 0,21883273

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 4 e - x 2 2 sen ⁡ x 2 - x 2 2 + x 2 - 1 - 8 x 2 e - x 2 2 sen ⁡ x 2 + 4 e - x 2 2 cos ⁡ x 2 - 2 x 2 + 1 ≈ 0,21916357

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 4 e - x 3 2 sen ⁡ x 3 - x 3 2 + x 3 - 1 - 8 x 3 e - x 3 2 sen ⁡ x 3 + 4 e - x 3 2 cos ⁡ x 3 - 2 x 3 + 1 ≈ 0,21916368

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 4 e - x 4 2 sen ⁡ x 4 - x 4 2 + x 4 - 1 - 8 x 4 e - x 4 2 sen ⁡ x 4 + 4 e - x 4 2 cos ⁡ x 4 - 2 x 4 + 1 ≈ 0,21916368

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,21916368 .

Passo 4

Agora com x 1 = 1,1 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 4 e - x 1 2 sen ⁡ x 1 - x 1 2 + x 1 - 1 - 8 x 1 e - x 1 2 sen ⁡ x 1 + 4 e - x 1 2 cos ⁡ x 1 - 2 x 1 + 1 ≈ 1,08432830

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 4 e - x 2 2 sen ⁡ x 2 - x 2 2 + x 2 - 1 - 8 x 2 e - x 2 2 sen ⁡ x 2 + 4 e - x 2 2 cos ⁡ x 2 - 2 x 2 + 1 ≈ 1,08422462

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 4 e - x 3 2 sen ⁡ x 3 - x 3 2 + x 3 - 1 - 8 x 3 e - x 3 2 sen ⁡ x 3 + 4 e - x 3 2 cos ⁡ x 3 - 2 x 3 + 1 ≈ 1,08422462

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,08422462 .

Resposta

As raizes da equação são 0,21916368 e 1,08422462 .

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