Enunciado

A família das curvas em forma de sino

y = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2

Ocorre em probabilidade e estatística, nas quais ela é chamada função densidade normal. A constante μ é denominada média, e a constante positiva σ é conhecida como desvio padrão. Por simplicidade, mudamos a escala da função de forma a remover o fator 1 σ 2 π e vamos analisar o caso especial onde μ = 0 . Logo, estudamos a função

f x = e - x 2 2 σ 2

(a) Encontre a assíntota, o valor máximo e os pontos de inflexão de f .

(b) Que papel desempenha σ no formato da curva?

(c) Ilustre, fazendo o gráfico de quatro membros dessa família sobre a mesma tela.

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... a questão nos dá uma gaussiana (ou curva normal) da seguinte forma:

y = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2

Onde a constante μ é denominada média, e a constante positiva σ é conhecida como desvio padrão.

Para facilitar nossa vida, a questão simplificou para a seguinte função:

f x = e - x 2 2 σ 2

Com isso, devemos calcular a assíntota, o valor máximo e os pontos de inflexão de f .

Depois, devemos dizer qual é a função que σ desempenha nessa função e plotar um gráfico com a “família de sinos”.

E aí? Bora lá??

Passo 2

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida, o que neste caso não ocorre já que f está definida para todo número real, então não há nenhuma assíntota vertical.

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 2 σ 2 =   0

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e - x 2 2 σ 2 =   0

Passo 3

Se

f x = e - x 2 2 σ 2

Então:

f ' x = - x σ e - x 2 2 σ 2

Para f crescente:

f ' x > 0

- x σ e - x 2 2 σ 2 > 0

- x > 0

x < 0

Para f decrescente:

f ' x < 0

- x σ e - x 2 2 σ 2 < 0

- x < 0

x > 0

Então f é crescente em ( - ∞ , 0 ) e decrescente em 0 , ∞ . Como f cresce ate x = 0 e decresce a partir daí, temos um valor máximo em f 0 = e - 0 2 σ 2 = 1 .

Se

f ' x = - x σ e - x 2 2 σ 2

Então:

f ' ' x = x 2 - σ 2 σ 4   e - x 2 2 σ 2

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

x 2 - σ 2 σ 4   e - x 2 2 σ 2 > 0

x 2 - σ 2 > 0

x > σ

x > σ ou x < - σ

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

x 2 - σ 2 σ 4   e - x 2 2 σ 2 < 0

x 2 - σ 2 < 0

x < σ

- σ < x < σ

Assim, f possui concavidade para cima em valores de x no intervalo - ∞ , - σ e   σ , ∞ e concavidade para baixo em - σ , σ .

Então, vemos que os pontos de inflexão são - σ , f - σ = ( - σ , e - 1 2 ) e σ , f σ = ( σ , e - 1 2 ) .

Passo 4

Item b:

O papel que σ desempenha no formato da curva é onde ocorre o ponto de inflexão. Quando x = ± σ temos mudança de concavidade e, portanto, afinando ou alargando o formato do sino.

Passo 5

Item c:

De acordo com o que foi obtido, temos o gráfico:

Resposta

(a)

Assíntotas:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 2 σ 2 =   0

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e - x 2 2 σ 2 =   0

Valor máximo em f 0 = 1

Os pontos de inflexão são ( - σ , e - 1 2 ) e ( σ , e - 1 2 ) .

(b) Afinando ou alargando o formato do sino.

(c)

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