Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 72
A família das curvas em forma de sino
Ocorre em probabilidade e estatística, nas quais ela é chamada função densidade normal. A constante é denominada média, e a constante positiva é conhecida como desvio padrão. Por simplicidade, mudamos a escala da função de forma a remover o fator e vamos analisar o caso especial onde . Logo, estudamos a função
(a) Encontre a assíntota, o valor máximo e os pontos de inflexão de .
(b) Que papel desempenha no formato da curva?
(c) Ilustre, fazendo o gráfico de quatro membros dessa família sobre a mesma tela.
Passo 1
Eaeee, belezinha? Bom... a questão nos dá uma gaussiana (ou curva normal) da seguinte forma:
Onde a constante é denominada média, e a constante positiva é conhecida como desvio padrão.
Para facilitar nossa vida, a questão simplificou para a seguinte função:
Com isso, devemos calcular a assíntota, o valor máximo e os pontos de inflexão de .
Depois, devemos dizer qual é a função que desempenha nessa função e plotar um gráfico com a “família de sinos”.
E aí? Bora lá??
Passo 2
Item a:
A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de quando converge para o valor onde a função não está definida, o que neste caso não ocorre já que está definida para todo número real, então não há nenhuma assíntota vertical.
As assíntotas horizontais são os valores que converge quando tende aos infinitos:
E
Passo 3
Se
Então:
Para crescente:
Para decrescente:
Então é crescente em e decrescente em . Como cresce ate e decresce a partir daí, temos um valor máximo em .
Se
Então:
Para com concavidade para cima:
ou
Para com concavidade para baixo:
Assim, possui concavidade para cima em valores de no intervalo e e concavidade para baixo em .
Então, vemos que os pontos de inflexão são e .
Passo 4
Item b:
O papel que desempenha no formato da curva é onde ocorre o ponto de inflexão. Quando temos mudança de concavidade e, portanto, afinando ou alargando o formato do sino.
Passo 5
Item c:
De acordo com o que foi obtido, temos o gráfico:
Resposta
(a)
Assíntotas:
Valor máximo em
Os pontos de inflexão são e .
(b) Afinando ou alargando o formato do sino.
(c)