Enunciado

Encontre uma função cúbica f x = a x 3 + b x 2 + c x + d que tenha um valor máximo local 3 em - 2 e um valor mínimo local 0 em 1.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuriaqui e estarei te ajudando com essa atividade. Aqui iremos encontrar uma função do 3º que tenha valor máximo local 3 em - 2 e um valor mínimo local 0 em 1.

Para termos um máximo ou mínimo local em uma função, sua derivada é nula, então:

Se

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Então:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Passo 2

Se o ponto 1,0 é mínimo e o ponto - 2,3 é máximo, temos o sistema:

f ' 1 = 0 f ' - 2 = 0 f 1 = 0 f - 2 = 3

3 a 1 + 2 b 1 + c = 0 3 a - 2 2 + 2 b - 2 + c = 0 a 1 3 + b 1 2 + c 1 + d = 0 a - 2 3 + b - 2 2 + c - 2 + d = 3

3 a + 2 b + c = 0 12 a - 4 b + c = 0 a + b + c + d = 0 - 8 a + 4 b - 2 c + d = 3

Passo 3

Se a + b + c + d = 0 então d = - a - b - c , assim:

3 a + 2 b + c = 0 12 a - 4 b + c = 0 - 8 a + 4 b - 2 c - a - b - c = 3

3 a + 2 b + c = 0 12 a - 4 b + c = 0 - 9 a + 3 b - 3 c = 3

3 a + 2 b + c = 0 12 a - 4 b + c = 0 - 3 a + b - c = 1

Passo 4

Se 3 a + 2 b + c = 0 e - 3 a + b - c = 1 então, somando as duas equações:

3 a + 2 b + c + - 3 a + b - c = 0 + 1

3 b = 1

b = 1 3

Assim:

3 a + 2 3 + c = 0 12 a - 4 3 + c = 0 - 3 a + 1 3 - c = 3

3 a + 2 3 + c = 0 12 a - 4 3 + c = 0

Passo 5

Se 3 a + 2 3 + c = 0 então c = - 3 a - 2 3 assim:

12 a - 4 3 + c = 0

12 a - 4 3 - 3 a - 2 3 = 0

9 a - 6 3 = 0

a = 2 9

E se a = 2 9 então:

c = - 3 a - 2 3

c = - 3 2 9 - 2 3

c = - 4 3

E se d = - a - b - c temos:

d = - 2 9 - 1 3 + 4 3

d = 7 9

Então, se a = 2 9 , b = 1 3 ,   c = - 4 3 e d = 7 9 , a função cubica que procuramos é dada por:

f x = 1 9 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 7

Resposta

f x = 1 9 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 7

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