Enunciado

f x = 7 + x 11 - 3 x 1 / 3 possui um valor mínimo absoluto? Um máximo absoluto? Em caso afirmativo, determine-os ou justifique sua ausência. Apresente todos os pontos críticos de f .

Passo 1

A fim de descobrir se a função possui mínimos ou máximos absolutos, deve-se fazer a derivada da mesma e igualar este resultado a zero, ou seja, verificar se existe ponto crítico.

Caso haja pontos críticos, estes devem ser analisados dentro do domínio da função.

Passo 2

Logo, derivando a função:

f ' x = 11 - 3 x 1 / 3 - ( 7 + x ) 11 - 3 x - 2 / 3

f ' x = 11 - 3 x - 7 + x 11 - 3 x 2 / 3 = 4 1 - x 11 - 3 x 2 / 3 = 0

A partir da derivada da função, temos que x = 1 e x = 11 / 3 são os pontos críticos.

Passo 3

Analisando os pontos críticos, observa-se que:

Para x < 1 , f ' x é positivo;

Para x > 1 , f ' x é negativo;

Então, o ponto x = 1 é máximo local.

Ainda, não é necessário analisar o ponto x = 11 / 3 , pois ele já está incluso nos valores x > 1 e, portanto, a função não altera seu comportamento e x = 1 é um máximo absoluto.

Passo 4

Também, para verificarmos se há mínimo absolutos, pode-se aplicar os limites com x → ∞ e x → - ∞ . Fazendo isso, nota-se que ambos resultam em - ∞ , ou seja, não há pontos em que a curva da função esteja descrescendo e, em algum ponto, passe a crescer.

Resposta

Pontos críticos: x = 1 e x = 11 / 3 ;

Não há nenhum mínimo absoluto;

Máximo absoluto: ( 1 ,   16 ) .

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