Enunciado

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Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:

. Os extremos relativos de f ;

. Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

. Os intervalos onde f é crescente e aqueles nos quais f é decrescente;

. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;

Da função x - 3 5 3 + 1

Passo 1

Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:

  1. Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
  2. Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.

Então, nossa função é dada por:

x - 3 5 3 + 1

Derivando e igualando a 0, temos que:

5 3 - 3   +   x 2 3 = 0

Resolvendo essa equação, temos que a raíz é:

x 1 =   3

Então temos 1 C. Vamo aos testes! A segunda derivada da função é igual a:

10 9 - 3 + x 3

Aplicando as raízes   , temos que:

-p/ x 1 :

10 9 - 3 + x 3 = 10 9 > 0

Para esse caso, pode-se afirmar em x = 3 é um máximo relativo.

Passo 2

Passo 3

Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!

f ' x = 5 3 - 3   +   x 2 3

f ' ' x = 10 9 - 3 + x 3

Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.

10 9 - 3 + x 3 = 0

Não existem raízes!!

Passo 4

E vamos seguindo o rumo galera! Para determinamos a região aonde a nossa curva cresce e decresce, é bem simples. Derivamos uma vez, achamos os 0 e comparamos os intervalos dos 0. Como assim? Vamos lá.

Para a nossa função, temos que a primeira derivada é igual a

f ' x = 5 3 - 3   +   x 2 3

A raiz dessa equação é “3”

Então, vamos analisar essa função em 2momentos distintos:

Para x < 3

Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO

Para x > 3

Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO

Passo 5

Como não temos pontos de inflexão, não temos concavidades

Resposta

x = 3 , 1 → M á x i m o   r e l a t i v o

Sem pontos de inflexão

Para x < 3

Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO

Para x > 3

Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO

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