Enunciado

Fazer o gráfico da função

f x = x ln ⁡ x

Depois, verificar se ela possui um mínimo absoluto.

Passo 1

É preciso saber o domínio da função. Como o logaritmando deve ser positivo:

D f = 0   ,   + ∞

Passo 2

Encontrar a primeira derivada da função:

f ' x = ln ⁡ x + x ∙ 1 x ⇒ f ' x = 1 + ln ⁡ x

Passo 3

Encontrar a segunda derivada da função:

f ' ' x = 1 x

Passo 4

Encontrar as raízes da função e de suas duas primeiras derivadas:

f x = 0 ⇒ x ln ⁡ x = 0 ⇒ x = 1

f ' x = 0 ⇒ 1 + ln ⁡ x = 0 ⇒ x = e - 1

f ' ' x ≠ 0       ∀ x ∈ D f

Passo 5

Fazer o estudo de sinais da função e de suas duas primeiras derivadas:

0 < x < 1 ⇒ f x < 0   ; x > 1 ⇒ f x > 0

0 < x < e - 1 ⇒ f ' x < 0   ; x > e - 1 ⇒ f ' x > 0

f ' ' x > 0           ∀ x ∈ D f

Passo 6

É preciso analisar se existem assíntotas verticais. Para isso, fazemos:

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 x

Obtemos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , então aplicaremos L’Hôpital:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 x = lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 x 2 = - lim x → 0 ⁡ x = 0

Logo, não há assítota vertical.

Passo 7

É preciso analisar se existem assíntotas horizontais ou inclinadas. Para isso, fazemos:

lim x → + ∞ ⁡ f x x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x = + ∞

Portanto, não existe assíntota horizontal.

Passo 8

Para facilitar o esboço, encontramos pontos notáveis na função:

f e - 1 = - e - 1

f 1 = 0

Passo 9

Substituímos a raiz da primeira derivada na segunda derivada pra saber se é um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão:

f ' ' e - 1 = 1 e - 1 = e

Portanto, x = e - 1 é um ponto de mínimo local. Porém, como é menor que os extremos da função, é um mínimo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto: - e - 1

Esboço:

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