Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 35
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
,
Passo 1
A questão pede para esboçarmos o gráfico da função usando o roteiro apresentado na seção. Assim, devemos analisar o domínio, possíveis simetrias, raízes, intervalos de crescimento, concavidade, comportamentos no infinito, etc...
Passo 2
O próprio exercício delimitou o limite que devemos considerar:
Passo 3
A função é ímpar, assim como a tangente. Como o produto de uma função ímpar por outra função ímpar é par, segue que a função é par. Desta forma, ela é simétrica com relação ao eixo e só precisamos nos preocupar com .
Passo 4
É fácil ver que a curva passa pela origem . Além disso, no intervalo a tangente não se anula em nenhum ponto além de . Assim, a única raiz da função no intervalo ocorre na origem.
Passo 5
Como estamos trabalhando num intervalo limitado, não faz sentido fazer limites no infinito para procurar assíntotas. Todavia, sabemos que a tangente explode em , de modo que podemos tomar esse limite para ver o que acontece:
Como a função é par, para ocorre o mesmo, de modo que as retas e são assíntotas verticais da curva.
Passo 6
Vamos estudar agora o crescimento e decrescimento da curva fazendo a derivada da função:
Sabemos que e que no primeiro quadrante, tanto como são positivos, de modo que . Já no quarto quadrante (que se refere ao intervalo de até ), tanto como são negativos, de modo que . Assim, a função é decrescente para e crescente para .
Passo 7
Para a concavidade usaremos a segunda derivada:
Vimos no passo 6 que e têm sempre o mesmo sinal, de modo que . Assim, vemos que e a concavidade da curva é sempre para cima.
Resposta
Assim, o gráfico da função será algo do tipo