Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x t g x , - pi // 2 < x < pi // 2

Passo 1

A questão pede para esboçarmos o gráfico da função usando o roteiro apresentado na seção. Assim, devemos analisar o domínio, possíveis simetrias, raízes, intervalos de crescimento, concavidade, comportamentos no infinito, etc...

Passo 2

O próprio exercício delimitou o limite que devemos considerar:

D_f = ] - pi // 2 , pi // 2 [

Passo 3

A função x é ímpar, assim como a tangente. Como o produto de uma função ímpar por outra função ímpar é par, segue que a função y é par. Desta forma, ela é simétrica com relação ao eixo y e só precisamos nos preocupar com x > 0 .

Passo 4

É fácil ver que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Além disso, no intervalo ] - pi // 2 , pi // 2 [ a tangente não se anula em nenhum ponto além de x = 0 . Assim, a única raiz da função no intervalo ocorre na origem.

Passo 5

Como estamos trabalhando num intervalo limitado, não faz sentido fazer limites no infinito para procurar assíntotas. Todavia, sabemos que a tangente explode em pi // 2 , de modo que podemos tomar esse limite para ver o que acontece:

underset(x -> (pi)/(2)^(- ))(l i m) x t g x = (pi)/(2) * oo = + oo

Como a função é par, para x = - pi // 2 ocorre o mesmo, de modo que as retas x = pi // 2 e x = - pi // 2 são assíntotas verticais da curva.

Passo 6

Vamos estudar agora o crescimento e decrescimento da curva fazendo a derivada da função:

y ' = 1 * t g x + x s e c^2 x

Sabemos que s e c^2 x > 0 e que no primeiro quadrante, tanto x como t g x são positivos, de modo que y ' > 0 . Já no quarto quadrante (que se refere ao intervalo de - pi // 2 até 0 ), tanto x como t g x são negativos, de modo que y ' < 0 . Assim, a função é decrescente para - pi // 2 < x < 0 e crescente para 0 < x < pi // 2 .

Passo 7

Para a concavidade usaremos a segunda derivada:

y^(' ') = s e c^2 x + s e c^2 x + 2 x sec x s e c x t g x = 2 s e c^2 x ( 1 + x t g x )

Vimos no passo 6 que x e t g x têm sempre o mesmo sinal, de modo que x t g x > 0 . Assim, vemos que y ' ' > 0 e a concavidade da curva é sempre para cima.

Resposta

Assim, o gráfico da função será algo do tipo

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