Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x)/(x^3 - 1)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Antes de começarmos nossa análise, vamos usar a fatoração a^3 - b^3 = (a - b) ( a^2 + a b + b^2 ) para simplificar a função:

y = (x)/((x - 1) ( x^2 + x + 1 ))

Em alguns passos usaremos a forma fatorada e em outros a forma desenvolvida, conforme for mais conveniente.

Passo 2

Como x^2 + x + 1 = 0 não tem raízes reais, o único ponto que “dá problema” no denominador é x = 1 . Assim,

D_f = R - { 1 }

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

A função não é nem par, nem ímpar.

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^3 - 1) = underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^3 - 1) = 0

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 0 (eixo x ) é assíntota horizontal da função.

Provavelmente teremos uma assíntota vertical em x = 1 . Vamos calcular os limites laterais para verificar isso:

underset(x -> 1^-)(lim) (x)/((x - 1) ( x^2 + x + 1 )) = (1)/(0^-) = - oo

underset(x -> 1^+)(lim) (x)/((x - 1) ( x^2 + x + 1 )) = (1)/(0^+) = + oo

Portanto, a reta x = 1 é assíntota vertical do gráfico da função.

Passo 6

Derivando a função:

y^' = (1 * (x^3 - 1) - x * 3 x^2)/((x^3 - 1)^2) = - (2 x^3 + 1)/((x^3 - 1)^2) = - (( x root(3)(2) + 1 ) ( x^2 root(3)(4) - x root(3)(2) + 1 ))/((x^3 - 1)^2)

Usamos que a^3 + b^3 = (a + b) ( a^2 - a b + b^2 ) . Observe que a equação x^2 root(3)(4) - x root(3)(2) + 1 = 0 não tem raízes reais, de modo que x^2 root(3)(4) - x root(3)(2) + 1 > 0 (trata-se de uma parábola “feliz” que não corta o eixo x , portanto ela é sempre positiva). Além disso, (x^3 - 1)^2 > 0 , de modo que o único termo que vai importar para o sinal de y ' é - ( x root(3)(2) + 1 ) :

Assim, o ponto (- (1)/(root(3)(2)) , (root(3)(4))/(3)) é ponto de máximo local.

Passo 7

No estudo da concavidade, precisamos de y ' ' :

y^(' ') = - (6 x^2 (x^3 - 1)^2 - (2 x^3 + 1) * 2 (x^3 - 1) * 3 x^2)/((x^3 - 1)^4) = - (6 x^2 (x^3 - 1) - 6 x^2 ( 2 x^3 + 1 ))/((x^3 - 1)^3)

Assim,

y^(' ') = (6 x^2 ( x^3 + 2 ))/((x^3 - 1)^3) = (6 x^2 (x + root(3)(2)) ( x^2 + x root(3)(2) + root(3)(4) ))/((x - 1)^3 (x^2 + x + 1)^3)

Como (x^2 + x + 1)^3 > 0 e 6 x^2 (x^2 + x root(3)(2) + root(3)(4)) > 0 , os únicos termos que vão importar para o sinal de y ' ' são (x - 1)^3 e x + root(3)(2)

Assim, o sinal de y ' ' será:

O ponto (- root(3)(2) , (root(3)(2))/(3)) é ponto de inflexão.

Resposta

O esboço da curva:

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 4 - x 2 s e - 2 ≤ x0 2 x - 1s e0 ≤ x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 + x + 1 2 ,- 2 ≤ x5
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 - x
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2