Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 18
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Antes de começarmos nossa análise, vamos usar a fatoração para simplificar a função:
Em alguns passos usaremos a forma fatorada e em outros a forma desenvolvida, conforme for mais conveniente.
Passo 2
Como não tem raízes reais, o único ponto que “dá problema” no denominador é . Assim,
Passo 3
A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem .
Passo 4
A função não é nem par, nem ímpar.
Passo 5
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:
Assim, tanto para como para , a reta (eixo ) é assíntota horizontal da função.
Provavelmente teremos uma assíntota vertical em . Vamos calcular os limites laterais para verificar isso:
Portanto, a reta é assíntota vertical do gráfico da função.
Passo 6
Derivando a função:
Usamos que . Observe que a equação não tem raízes reais, de modo que (trata-se de uma parábola “feliz” que não corta o eixo , portanto ela é sempre positiva). Além disso, , de modo que o único termo que vai importar para o sinal de é :
Assim, o ponto é ponto de máximo local.
Passo 7
No estudo da concavidade, precisamos de :
Assim,
Como e , os únicos termos que vão importar para o sinal de são e
Assim, o sinal de será:
O ponto é ponto de inflexão.
Resposta
O esboço da curva: