Enunciado

Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x 2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x 2 e y 2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y 2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

14. Igual ao exercício 13, mas os elementos retangulares são perpendiculares ao eixo de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos igual a questão 13, mas com elementos retangulares perpendiculares ao eixo de revolução que no caso é o eixo y.

A região R1 é a seguinte:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam perpendiculares ao eixo y de rotação, para satisfazer isso a melhor opção para usarmos é o método dos anéis circulares, então nosso anel circular estaria na horizontal e a espessura do anel é dy, então temos que:

d V = π ( R 2 - r 2 ) ⋅ d y

Onde R é o raio maior do anel e r é o raio menor.

Então como o d V depende de d y precisamos achar R e r como funções da forma f ( y ) .

Assim:

r = y         R = 1

Logo:

V = π ∫ 0 1 1 2 - y 2 d y

Os limites de integração são esses já que y varia de 0 a 1 na região R1 limitada.

Passo 2

Agora resolvendo a integral.

V = π ∫ 0 1 1 2 - y 2 d y

= π ∫ 0 1 ( 1 - y ) d y

= π ∫ 0 1 d y - ∫ 0 1 y   d y

= π y 0 1 - y 2 2 0 1

= π 1 - 0 - 1 2 1 - 0

= π 1 - 1 2 = π 2

Resposta

V = π 2

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