Enunciado

38. A região do primeiro quadrante, limitada pela curva y = s e c x , pelo eixo y e pela reta y = 2 faz uma rotação em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Antes de tudo, vamos esboçar esse sólido de revolução,

Em azul é referente a curva y = s e c x   , em marrom é a curva y=2, e em vermelho é o eixo y.

Agora vamos cortar um pedaço desse sólido,

A direita na imagem está um anel que obtemos ao fatiar o sólido.

Passo 2

A área do anel que desejamos é dado pela área com o raio maior menos a área do raio menor, ou seja,

A ( x ) = π 2 2 - π s e c x 2

Passo 3

Lembrando que o volume é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Portanto, a integral ficará assim:

V = ∫ 0 π 3 π 2 2 - π s e c x 2 d x

Sabe de onde vem esse π 3   ? é ponto de intersecção das duas curvas, então, basta fazer secx=2

⇒ 1 cos ⁡ x = 2

⇒ c o s x = 1 2 ⇒ x = π 3

Então, realmente o x está variando entre 0 à π 3 .

Continuando,

= ∫ 0 π 3 4 π - π sec 2 ⁡ x d x

= 4 π x - π t g x   | 0 π 3

= 4 π π 3 - π t g π 3   - 0

= π 4 π 3 - 3

Resposta

= π 4 π 3 - 3

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Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados. x = y 2 e x = 2 - y 2 ; ao redor do eixo dos y
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região limitada por y = s e nx ,y = s e n 3 x ,x = 0 ,ex = π 2 .
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = - 2 , da região limitada por y = cos ⁡ x ,y = - 2 ,x = 0 ,ex = 2 π .
7. y = x 2,y = x 3
6. y = ln ⁡ x,y = - 1 ,y = 2ex = 0