Enunciado

A figura exibe dois círculos C e D de raio 1 que se tocam em P . T é uma reta tangente comum; C 1 é o circulo que toca C , D e T ; C 2 é o circulo que toca C , D e C 1 ; C 3 é o circulo que toca C , D e C 2 . Esse procedimento pode continuar indefinidamente e produzir uma sequência infinita de círculos { C n } . Encontre uma expressão para o diâmetro de C n e então forneça outra demonstração geométrica do Exemplo 8

Passo 1

Fala aí pessoal!

Para resolver essa questão precisamos achar alguma relação que nos dê os diâmetros dos círculos C n . Para isso, vamos criar outra sequência { d n } onde d n é o diâmetro de C n , e para calcular d n vamos traçar uma do centro do círculo D até o centro de C n e outra reta paralela a T , formando triângulos retos

Assim podemos aplicar o Teorema de Pitágoras nos triângulos e calcular os diâmetros dos círculos rosas. Nós vamos calcular d 1 , d 2 e d 3 e tentar encontrar um padrão pra definir o valor de d n .

Passo 2

Perceba que a hipotenusa vai ser sempre o raio de D que é 1 mais o raio de C n que é d n / 2 , a base do triangulo vai ser sempre 1 e a altura vai ser 1 menos d n / 2 e menos ainda a soma de todos os diâmetros anteriores.

Pro primeiro triângulo:

1 + d 1 2 2 = 1 2 + 1 - d 1 2 2

Subtraindo 1 - d 1 2 2 dos dois lados

1 + d 1 2 2 - 1 - d 1 2 2 = 1

Temos agora uma diferença de quadrados do lado esquerdo, onde a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

1 + d 1 2 + 1 - d 1 2 1 + d 1 2 - 1 - d 1 2 = 1

2 d 1 = 1

d 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos calcular d 2 . Para o segundo triângulo:

1 + d 2 2 2 = 1 2 + 1 - d 2 2 - d 1 2

Fazendo o mesmo procedimento

1 + d 2 2 2 - 1 - d 2 2 - d 1 2 = 1

Abrindo a soma de quadrados:

1 + d 2 2 + 1 - d 2 2 - d 1 1 + d 2 2 - 1 - d 2 2 - d 1 = 1

2 - d 1 d 2 + d 1 = 1

Substituindo o valor de d 1 :

2 - 1 2 d 2 + 1 2 = 1

E assim achamos o d 2 :

3 2 d 2 + 1 2 = 1

3 2 d 2 + 3 4 = 1

3 2 d 2 = 1 4

d 2 = 1 2 ⋅ 3

Passo 4

Calculando agora d 3

1 + d 3 2 2 = 1 2 + 1 - d 3 2 - d 1 - d 2 2

1 + d 3 2 2 - 1 - d 3 2 - d 1 - d 2 2 = 1

Abrindo a diferença de quadrados:

1 + d 3 2 + 1 - d 3 2 - d 1 - d 2 1 + d 3 2 - 1 - d 3 2 - d 1 - d 2 = 1

2 - d 1 - d 2 d 3 + d 1 + d 2 = 1

Substituindo os valores de d 1 e d 2 :

2 - 1 2 - 1 6 d 3 + 1 2 + 1 6 = 1

Manipulando a expressão:

12 - 3 - 1 6 d 3 + 4 6 = 1

8 6 d 3 + 4 6 = 1

4 3 d 3 + 4 3 2 3 = 1

4 3 d 3 = 1 - 8 9

Encontramos d 3

d 3 = 1 3 ⋅ 4

Passo 5

Vamos olhar o que achamos:

d 1 = 1 2

d 2 = 1 2 ⋅ 3

d 3 = 1 3 ⋅ 4

No numerador sempre temos 1. No denominador temos n multiplicado pelo inteiro consecutivo.

Conseguimos achar um padrão!

d n = 1 n ( n + 1 )

Passo 6

Voltando a imagem percebemos que os círculos vao diminuindo e eles tem um limite que não podem ultrapassar, pois as circunferências C e D   se tocam no ponto P , e se analisarmos bem quando n → ∞ , C n → P , como assim? Quanto maior o n menor o diâmetro e quando o diâmetro tende a zero, a circunferência vira um ponto e isso só ocorre no limite quando as circunferências estão próximas o suficiente de P .

O que tiramos disso? Como o limite é P , podemos dizer que a soma de todos os diâmetros é igual a distancia de P e T , que é o raio de D , logo temos que

∑ n = 1 ∞ d n = ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1

Resposta

d n = 1 n ( n + 1 )

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