Enunciado

A figura mostra um círculo fixo C ₁ de equação x - 1 2 + y 2 = 1 e um círculo C ₂ , a ser escolhido, com raio r e centro na origem. P é o ponto ( 0 , r ) , Q é o ponto de intersecção superior dos dois círculos, e R é o ponto de intersecção da reta P Q com o eixo x . O que acontecerá com R quando C ₂ se contrair, isto é, quando r → 0 ⁺?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... a questão nos dá a seguinte figura:

Onde o círculo C 1 tem a seguinte equação:

x - 1 2 + y 2 = 1

O círculo C 2 não tem equação, mas temos os seguintes dados:

  • raio r ;
  • centro na origem;
  • P é o ponto ( 0 , r ) ;
  • Q é o ponto de intersecção superior dos dois círculos;
  • R é o ponto de intersecção da reta P Q com o eixo x .

Queremos saber o que acontecerá com R quando C ₂ se contrair, isto é, quando r → 0 ⁺.

Para isso, iremos utilizar do limite para analisar essa situação prática. Lembrando que quando falamos r → 0 ⁺, esse sinal de + indica que estamos nos aproximando de 0 pela direita, ou seja, por valores maiores que 0. Isso é um limite lateral!

Primeiro vamos achar as coordenadas de P e Q em função de r , assim vai ser possível achar a equação da reta determinada por esses dois pontos, e assim nós achamos o ponto x que intercepta, o ponto R , e fazemos o limite de r → 0 , vamos lá!!

Passo 2

Temos as coordenadas de P como ( 0 , r ) , e o ponto Q é o ponto de intersecção dos dois círculos, x 2 + y 2 = r ² e x - 1 2 + y 2 = 1 . Vamos combinar as duas equações

Isolando o y ² da primeira:

y 2 = r 2 - x ²

Substituindo na segunda:

x - 1 2 + r 2 - x 2 = 1

E simplificando:

r 2 = 1 + 2 x - 1 → x = 1 2 r ²

Temos a primeira coordenada do ponto Q .

Passo 3

Agora vamos substituir o valor de x que acabamos de achar na equação do círculo:

x 2 + y 2 = r 2

1 2 r 2 2 + y 2 = r ²

Vamos isolar o termo y , assim achamos a segunda coordenada do ponto:

y = r 2 - r 4 4 = r 1 - 1 4 r ²

Passo 4

Agora que temos as coordenadas dos dois pontos, vamos achar o coeficiente angular:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = r 1 - 1 4 r 2 - r 1 2 r 2 - 0

E aplicar na equação da reta:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

y - r = r 1 - 1 4 r 2 - r 1 2 r 2 - 0 ( x - 0 )

Para achar a coordenada x nós colocamos y = 0 , subsitituimos na equação e isolamos o x :

0 - r = r 1 - 1 4 r 2 - r 1 2 r 2 - 0 x - 0

- r = 1 - 1 4 r 2 - 1 1 2 r x

Portanto,

x = 2 1 - 1 4 r ² + 1

Passo 5

Por último nós tomamos o limite com r → 0 ⁺ , vamos lá:

lim r → 0 + ⁡ 2 1 - 1 4 r 2 + 1 = lim r → 0 + ⁡ 2 1 - 0 + 1

lim r → 0 ⁺ ⁡ 2 1 - 1 4 r ² + 1 = 4

Assim, temos que a posição máxima que R pode chegar é o ponto ( 4,0 ) .

Resposta

O ponto R chegará ao ponto máximo, que é o ponto ( 4,0 ) .

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Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind
Ache o limiteunderset(t - 2^+)(lim) (t + 2)/(t^2 - 4)
Ache o limiteunderset(t - 0)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2)
Ache o limiteunderset(t - 2^-)(lim) (t + 2)/(t^2 - 4)
Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind