Enunciado

a) A figura mostra um fio de telefone pendurado entre dois postes em x = - b e x = b . Este tem o formato de uma catenária com a equação y = c + a cosh ⁡ x a . Calcule o comprimento do fio.

b) Suponha que os dois postes telefônicos estejam separados a uma distância de 20 m e que o comprimento do fio entre os postes seja de 20,4 m. Se o ponto mais baixo do fio deve estar 9 m acima do solo, a qual altura o fio deve ser preso no poste?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento do fio que vai de x = - b até x = b , e é descrito pela equação:

y = c + a cosh ⁡ x a

Depois disso, a gente precisa calcular a altura que o fio está preso, sabendo que a distância entre os postes é de 20 metros, que o comprimento do fio é de 20,4 m e que o ponto mais baixo dele deve estar a 9 metros acima do solo.

Então, no item (a) devemos achar uma expressão para o comprimento do fio, que será dada pela integral

L = ∫ - b b 1 + y ' 2   d x

Dessa forma, vamos derivar a nossa função e substituir na fórmula para calcular a integral. Em seguida, no item (b), vamos fazer L = 20,4 e 2 b = 20 para encontrar o valor de a na derivada da função. Com esse valor, vamos fazer x = 0 e y = 9 para obter a altura do fio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função. Assim, usando a regra da cadeia, temos:

y ' = a ⋅ 1 a senh ⁡ x a

y ' = senh ⁡ x a

Agora elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + y ' 2 = 1 + s e n h 2 x a

1 + y ' 2 = cosh 2 ⁡ x a

E calculando a raiz dos dois lados, obtemos:

1 + y ' 2 = cosh ⁡ x a

Passo 3

Desta forma, substituindo na integral, ficamos com:

L = ∫ - b b cosh ⁡ x a   d x

Integrando em relação a x :

L = a   s e n h   x a - b b

Aplicando os limites de integração, obtemos:

L = a   s e n h   b a - s e n h   - b a

L = 2 a   s e n h   b a

Passo 4

Para o item (b), temos que L = 20,4 e 2 b = 20 , logo b = 10 . Vamos usar essas informações para achar a , através da derivada y ' = senh ⁡ x a :

20,4 = 2 a   s e n h   10 a

⇒ 10,2 = a   s e n h   10 a

Resolvendo essa equação com uma calculadora gráfica, obtemos:

a = 28,95

Para x = 0 , devemos ter y = 9 , porque ponto mais baixo do fio deve estar 9 m acima do solo. Assim, usando y = c + a cosh ⁡ x a e o valor de a calculado, temos:

9 = c + a cosh ⁡ 0

9 = a + c

Portanto,

c = 9 - a

E como a = 28,95 , temos:

c = 9 - 28,95

c = - 19,95

Para achar a que altura o fio deve ser preso no poste, fazemos x = b na equação de y :

H = c + a cosh ⁡ b a

Então, substituindo as constantes:

H = 10,74     m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) L = 2 a   s e n h   b a

b) H = 10,74     m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O comprimento de uma barra é 8 m e a densidade linear da barra num ponto 2 x m do extremo esquerdo é 2 x + 1 kg/m . ache a massa total da barra e seu centro de massa.
32- Determine a função comprimento de arco para a curva do Exercício 8, usando ( 0 ,1 / 4 ) como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de ( 0 ,1 / 4 ) até ( 1 ,59 / 24 ) ?
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a: ( x 2 + y 2 ) 3 2 = y ² ²
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ = c o s ² ( θ ) ²
Passe a curva para coordenadas polares e desenhe-a:(x²+y²)² = x² - y²