Calcule a integral

∫ 4 x x 3 + x 2 + x + 1 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ 4 x x 3 + x 2 + x + 1 d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😉

Nossa integral é a seguinte: I = ∫ 4 x x 3 + x 2 + x + 1 d x

A ideia nesse tipo de questão é fatorar os polinômios e usar frações parciais. Vamos começar pelo denominador.

x 3 + x 2 + x + 1

Colocando x 2 em evidencia nos dois primeiros termos:

x 2 x + 1 + x + 1

Agora vamos colocar o x + 1 em evidencia:

x + 1 x 2 + 1

Veja só! 😉

Passo 2

Então, nossa expressão fica assim ó:

4 x x 3 + x 2 + x + 1 = 4 x x + 1 x 2 + 1

Separando em frações parciais:

4 x x + 1 x 2 + 1 = A x + 1 + B x + C x 2 + 1

Logo,

4 x x + 1 x 2 + 1 = A x 2 + 1 + B x + C x + 1 x + 1 x 2 + 1

Então,

4 x x + 1 x 2 + 1 = x 2 A + B + x B + C + A + C x + 1 x 2 + 1

Montando um sistema, temos:

A + B = 0 B + C = 4 A + C = 0

Então,

A = - 2 , B = 2 e C = 2

Voltando para nossa expressão:

4 x x + 1 x 2 + 1 = - 2 x + 1 + 2 x + 2 x 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora substituímos na integral...

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Não esquece: ∫ d u 1 + u 2 = arctan ⁡ u + c

Agora vamos integrar!

I = ∫ - 2 x + 1 + 2 x + 2 x 2 + 1 d x  

Quebrando em duas partes:

I = ∫ - 2 x + 1 d x + ∫ 2 x + 2 x 2 + 1 d x

Tirando o que é constante da integral:

I = - 2 ⋅ ∫ 1 x + 1 d x + 2 ⋅ ∫ x + 1 x 2 + 1 d x

Então,

I = - 2 ⋅ ∫ 1 x + 1 d x + 2 ⋅ ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 1 d x

Agora vamos resolver essas integrais separadamente!

Para a primeira, temos:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1 + C 1

Já a segunda não é tão imediata, olha só:

∫ x x 2 + 1 d x

Fazendo u = x 2 + 1 → d u = 2 x d x

∫ 1 u d u 2 = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 2  

Por fim,

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g x + C 3

Juntando tudo, temos:

I = 2 ln ⁡ x + 1 + C 1 + 2 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 2 + a r c t g x + C 3

Isto é,

I = 2 ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

I = 2 ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados