Resolva a integral.

∫ y e 0,2 y d y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral usando integração por partes:

∫ y e 0,2 y d y

Lembre-se que a integração por partes é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

L ogaritmo

I nversa

A lgebrica (polinomial)

T rigonometrica

E xponencial

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma polinomial. Então, por LIATE, vamos usar a polinomial para o valor de u .

u = y

d v = e 0,2 y d y

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar u :

u = y ∴

d u = d y

Agora vamos integrar o d v :

d v = e 0,2 y   d y ∴

∫ d v = ∫ e 0,2 y   d y ∴

v = e 0,2 y 0,2

Agora sim podemos aplicar na integração por partes!! 😉

Passo 3

Aplicando a integral por partes, temos:

∫ y e 0,2 y d y = y e 0,2 y 0,2 - ∫ e 0,2 y 0,2   d y ∴

∫ x ln ⁡ x d x = 5 y e 0,2 y - 5 ∫ e 0,2 y d y ∴

5 y e 0,2 y - 5 ∫ e 0,2 y d y = 5 y e 0,2 y - 5 e 0,2 y 0,2 + C ∴

∫ y e 0,2 y d y = 5 y e 0,2 y - 25 e 0,2 y + C

Arrumando esta equação:

∫ y e 0,2 y d y = 5 e 0,2 y ( y - 5 ) + C

Que é a nossa resposta!! 😉

Resposta

∫ y e 0,2 y d y = 5 e 0,2 y ( y - 5 ) + C

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