Enunciado

Resolva a integral.

int y e^(0,2 y) d y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral usando integração por partes:

int y e^(0,2 y) d y

Lembre-se que a integração por partes é dada da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

L ogaritmo

I nversa

A lgebrica (polinomial)

T rigonometrica

E xponencial

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma polinomial. Então, por LIATE, vamos usar a polinomial para o valor de u .

u = y

d v = e^(0,2 y) d y

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar u :

u = y :.

d u = d y

Agora vamos integrar o d v :

d v = e^(0,2 y) d y :.

int d v = int e^(0,2 y) d y :.

v = (e^(0,2 y))/(0,2)

Agora sim podemos aplicar na integração por partes!! 😉

Passo 3

Aplicando a integral por partes, temos:

int y e^(0,2 y) d y = y (e^(0,2 y))/(0,2) - int (e^(0,2 y))/(0,2) d y :.

int sqrt(x) ln x d x = 5 y e^(0,2 y) - 5 int e^(0,2 y) d y :.

5 y e^(0,2 y) - 5 int e^(0,2 y) d y = 5 y e^(0,2 y) - 5 ((e^(0,2 y))/(0,2)) + C :.

int y e^(0,2 y) d y = 5 y e^(0,2 y) - 25 e^(0,2 y) + C

Arrumando esta equação:

int y e^(0,2 y) d y = 5 e^(0,2 y) ( y - 5 ) + C

Que é a nossa resposta!! 😉

Resposta

int y e^(0,2 y) d y = 5 e^(0,2 y) ( y - 5 ) + C

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