Enunciado

18. Se uma flecha é atirada para cima sobre a superfície da Lua com uma velocidade de   58 m / s , sua altura após t segundos é dada por H = 58 t - 0,83 t 2 .

( a ) Encontre a velocidade da flecha após um segundo.

( b ) Encontre a velocidade da quando t = a .

( c ) Quando a flecha volta para a Lua?

( d ) Com que velocidade ela atinge a lua?

Passo 1

Então meu querido, tudo bem? Espero que sim, e que você esteja com o seu lápis e papel em mãos para iniciarmos mais uma resolução.

Vamos hoje resolver essa atividade que relaciona física e matemática. Aqui temos uma situação de lançamento vertical, onde temos a velocidade inicial do objeto, no caso a flexa, e uma equação que rege a sua altura.

Para resolvermos essa atividade, iremos utilizar uma relação existente entre velocidade e o deslocamento, nesse caso a altura.

Usaremos então a equação 3 do livro, mas pode ficar tranquilo, vou colocar logo em seguida:

v ( a ) = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

v é a velocidade em um tempo t = a , f ( a ) é a função que rege o deslocamento no tempo t = a , no nosso caso a equação:

f t = H = 58 t - 0,83 t 2

Resolvendo a equação da relação entre a altura e velocidade poderemos responder todas as informações que nos são pedidas nesta atividade.

Passo 2

Faremos para a letra ( a ) , a equação acima, lembrando que nesse caso a = 1 , pois é após um tempo de 1 segundo:

v ( 1 ) = lim h → 0 ⁡ f ( 1 + h ) - f ( 1 ) h

Anotando as expressões grandes para não nos perdemos hein!

f 1 + h = 58 1 + h - 0,83 1 + h 2

f 1 + h = 58 + 58 h - 0,83 1 + 2 h + h 2

f 1 + h = 57,17 + 56,34 h - 0,83 h 2

Agora para f ( 1 ) :

f ( 1 ) = 58 ( 1 ) - 0,83 ( 1 ) 2 = 57,17

Colocando tudo para dentro da expressão da velocidade, vamos ter isso:

v 1 = lim h → 0 ⁡ 57,17 + 56,34 h - 0,83 h 2 - 57,17 h

Realizando os cálculos:

v ( 1 ) = l i m h → 0 56,34 h - 0,83 h 2 h

Cortando o h do numerador com o do denominador!!!!

v ( 1 ) = l i m                                           h → 0 ( 56,34 - 0,83 h ) = 56,34 m / s

Passo 3

Para essa letra b), iremos fazer a mesma coisa que na anterior, nossa única diferença é que agora o valor será genérico, ou seja, para qualquer valor do tempo, encontraremos a velocidade.

v ( a ) = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Anotando as expressões grandes para não nos perdemos hein!

f a + h = 58 a + h - 0,83 a + h 2

f a + h = 58 a + 58 h - 0,83 a 2 + 2 a h + h 2

f a + h = 58 a + 58 h - 0,83 a 2 - 1,66 a h - 0,83 h 2

Para f ( a ) :

f ( a ) = 58 ( a ) - 0,83 ( a ) 2 = 58 a - 0,83 a 2

Colocando tudo para dentro da expressão da velocidade, vamos ter isso:

v ( 1 ) = lim h → 0 ⁡ 58 a + 58 h - 0,83 a 2 - 1,66 a h - 0,83 h 2 - ( 58 a - 0,83 a 2 ) h

Simplificando os termos semelhantes:

v ( 1 ) = lim h → 0 ⁡ 58 h - 1,66 a h - 0,83 h 2 h

v ( 1 ) = lim h → 0 ⁡ h ( 58 - 1,66 a - 0,83 h ) h

Cortando o h do numerador com o do denominador:

v a = l i m                                           h → 0 58 - 1,66 a - 0,83 h

v ( a ) = 58 - 1,66 a

Passo 4

Para a letra c) ele quer saber quando a flecha volta para a Lua, ora, quando a flecha volta, não temos mais altura em relação a Lua. Apenas temos que igualar a altura a 0 :

H = 58 t - 0,83 t 2

0 = 58 t - 0,83 t 2

Colocando o t em evidência:

t 0,83 t - 58 = 0

t = 0

t = 58 0,83 = 69,88 s

Portanto, a flecha volta para a Lua após 69,88 s do lançamento.

Para a letra d) Lembra da expressão de velocidade que calculamos? Então, ela é para qualquer valor genérico, inclusive o 69,88 s , logo só precisamos substituir a por 69,88 , que é o estante de tempo que ela volta para a lua:

v a = 58 - 1,66 a

v 69,88 = 58 - 1,66 69,88

v 69,88 = - 58 m / s

O sinal negativo indica que o sentido é o oposto do sentido inicial, para cima, que foi o sentido considerado o positivo.

Resposta

( a )

v ( 1 ) = 56,34 m / s

( b )

v ( a ) = 58 - 1,66 a

( c )

t = 69,88 s

( d )

v = - 58 m / s

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