Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 39
39- Um fluido com densidade flui com velocidade . Determine a taxa de vazão do fluido através do paraboloide .
Passo 1
À vazão de um fluido de modo convencional é calculado da seguinte maneira:
Como é constante, v está vetorizado e a superfície não é convencional então teremos que calcular-las da seguinte maneira:
Como temos a equação parametrizada de nós também teremos de parametrizar o paraboloide e que serão iguais a:
E a parametrização do paraboloide será:
E o jacobiano sessa superfície será:
Então o módulo será:
Passo 2
Como não conseguimos tirar nada do módulo, nada nos impede de usar somente a parte vetorial do jacobiano o que nos dá:
Fazendo o vetorial temos:
E a região é a área elementar do paraboloide dado que é o círculo que vai desde raio igual a zero e vai até o raio igual a que é todo o corpo do paraboloide retratado que é igual a integral polar abaixo:
Passo 3
Fazendo as integrais nós teremos:
E fazendo esse monstrinho aí: