Enunciado

39- Um fluido com densidade 1200   flui com velocidade v = y i + j + z k . Determine a taxa de vazão do fluido através do paraboloide z = 9 - 1 4 x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 ≤ 36 .

Passo 1

À vazão de um fluido de modo convencional é calculado da seguinte maneira:

Q = ρ v A

Como ρ é constante, v está vetorizado e a superfície não é convencional então teremos que calcular-las da seguinte maneira:

Q = ∫ ∫ D ρ v   d A

Como temos a equação parametrizada de v nós também teremos de parametrizar o paraboloide e que serão iguais a:

v = y i + j + 9 - 1 4 x 2 + y 2 k

E a parametrização do paraboloide será:

r x , y = x i + y j + 9 - 1 4 x 2 + y 2 k

E o jacobiano sessa superfície será:

r x × r y = i j k 1 0 - x 2 0 1 - y 2

r x × r y = 0 + x 2 i + 0 + y 2 j + 1 - 0 k

Então o módulo será:

r x × r y = x 2 4 + y 2 4 + 1

Passo 2

Como não conseguimos tirar nada do módulo, nada nos impede de usar somente a parte vetorial do jacobiano o que nos dá:

Q = ∫ ∫ D 1200 ( y , 1 , 9 - 1 4 x 2 + y 2 . x 2 , y 2 ,   1 d A

Fazendo o vetorial temos:

Q = ∫ ∫ D 1200 y x 2 + y 2 + 9 - 1 4 x 2 + y 2 d A

E a região D é a área elementar do paraboloide dado que é o círculo que vai desde raio igual a zero e vai até o raio igual a 36 = 6 que é todo o corpo do paraboloide retratado que é igual a integral polar abaixo:

Q = ∫ 0 6 ∫ 0 2 π 1200 r r 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 + 9 - 1 4 r 2 d θ   d r

Q = ∫ 0 6 ∫ 0 2 π 1200 r 3 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + r 2 sin ⁡ θ 2 + 9 - 1 4 r 3 d θ   d r

Passo 3

Fazendo as integrais nós teremos:

Q = 1200 1 2 r 4 4 0 6 ∫ 0 2 π 1 2 sin ⁡ 2 θ   d θ + 1 2 r 3 3 0 6 - cos ⁡ θ 0 2 π + 9 r 2 2 0 6 θ 0 2 π - 1 4 r 4 4 0 6 θ 0 2 π

E fazendo esse monstrinho aí:

Q = 1200 1 2 6 4 4 - 1 4 cos ⁡ 2 θ 0 2 π + 0 + 18 π 6 2 2 - 1 16 6 4 × 2 π

Q = 1200 0 + 324 π - 162 π = 1200 × 162 π = 194400 π

Resposta

Q = 194400 π

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