Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 20
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
20- A região dentro do círculo e fora do círculo
Passo 1
É bom plotar os gráficos dessas duas funções para podermos visualizar essa questão:
Onde a área que queremos calcular é a área verde e para isso é de suma importância que calculemos os ângulos de interseção entre as duas curvas. E para isso vamos igualar os dois . A curva vermelha seria e a outra bem seira .
Passo 2
Como a curva está acima da curva então temos a seguinte integral para resolver:
Pois varia de uma curva até a outra, resolvendo essas duas integrais temos:
Pelas relações trigonométricas abaixo temos:
Nós temos que:
Dessa forma temos:
Fazendo essa integral temos:
Aplicando agora o intervalo:
Logo a área será:
Resposta
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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 4 - x 2 - y 2d A , onde R = x , yx 2 + y 2 ≤ 4 ,x ≥ 0 } .