Enunciado

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

20- A região dentro do círculo r = 4   s e n   θ e fora do círculo r = 2

Passo 1

É bom plotar os gráficos dessas duas funções para podermos visualizar essa questão:

Onde a área que queremos calcular é a área verde e para isso é de suma importância que calculemos os ângulos θ de interseção entre as duas curvas. E para isso vamos igualar os dois r . A curva vermelha seria r = 2 e a outra bem seira 4   s e n   θ .

2 = 4 s e n   θ

s e n   θ = 1 2

θ = π 6   e 5 π 6

Passo 2

Como a curva r = 4   s e n   θ está acima da curva r = 2 então temos a seguinte integral para resolver:

A = ∫ π 6 5 π 6 ∫ 2 4   s e n   θ r   d r   d θ

Pois r varia de uma curva até a outra, resolvendo essas duas integrais temos:

A = ∫ π / 6 5 π / 6 1 2 r 2 2 4   s e n   θ d θ

A = 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 16 s e n 2 θ - 4 d θ

A = ∫ π / 6 5 π / 6 8 s e n 2 θ - 2 d θ

Pelas relações trigonométricas abaixo temos:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = cos ⁡ 2 θ

Nós temos que:

s e n 2   x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Dessa forma temos:

A = ∫ π 6 5 π 6 ( 4 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) - 2 ) d θ

A = ∫ π 6 5 π 6 ( 2 - 4 cos ⁡ 2 θ ) d θ

Fazendo essa integral temos:

A = 2 θ - 4 2 sin ⁡ 2 θ π / 6 5 π / 6

Aplicando agora o intervalo:

A = 2 5 π 6 - π 6 - 2 sin ⁡ 5 π 3 - sin ⁡ π 3 = 4 π 3 - 2 - 3

Logo a área será:

A = 4 π 3 + 2 3

Resposta

A = 4 π 3 + 2 3

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