Enunciado

Se f for contínua em [ a , b ] , prove que:

|int_a^b f (x) d x| <= int_a^b |f (x)| d x

(Sugestão: - |f (x)| <= f (x) <= | f (x) | .)

Passo 1

Já vimos que se temos em um intervalo [ a , b ] duas funções f ( x ) e g ( x ) integráveis e se f (x) >= g ( x ) no intervalo, isso implicará que int_a^b f (x) d x >= int_a^b g (x) d x . Precisamos então, usando a sugestão, comparar as integrais a partir da comparação de suas funções.

Passo 2

Pelo Teorema mostrado no passo 1, se temos em [ a , b ] :

- |f (x)| <= f (x) <= | f (x) |

Isso implica que:

- int_a^b |f (x)| d x <= int_a^b f (x) d x <= int_a^b |f (x)| d x

Quando um número a se encontra dentro de um intervalo [ - L , L ] , ou seja, quandoo a >= - L e a <= L , podemos dizer que |a| <= L . Aplicando isso à equação (1), podemos concluir então que:

|int_a^b f (x) d x| <= int_a^b |f (x)| d x

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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