Enunciado

Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada:

b < a < c

(Teorema dado no livro).

Passo 1

O teorema citado diz que se temos um intervalo qualquer contendo a , b , e c no qual f ( x ) é integrável, teremos o resultado ∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , independente da ordem de a , b , e c . Sabemos de outro teorema que o resultado é válido para a < c < b , queremos agora partir desse resultado provar para a ordem b < a < c .

Passo 2

Se b < a < c , podemos afirmar, pela ordem convencional do teorema que:

∫ b c f x d x = ∫ b a f x d x + ∫ a c f x d x

Mas o resultado que queremos é:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Temos o ∫ b a f x d x do lado direito na primeira equação, então isolamos ele passando pro lado esquerdo:

- ∫ b a f x d x = ∫ a c f x d x - ∫ b c f x d x

Agora invertendo os limites de integração na primeira e na terceira integrais e multiplicando por - 1 :

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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