Enunciado

Se f ' for contínua, use a regra de L’Hospital para mostrar que

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x - h ) 2 h = f ' ( x )

Passo 1

Olá, meu querido e nobre amigo. Yuri aqui e eu estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O exercício pede para usarmos a regra de L’Hospital para achar o valor do limite, então é isso que devemos fazer: tentar aplicar a regra!!!

Um cuidado que devemos tomar nesse exercício é que as derivadas devem ser tomadas com relação a h , x atua como uma constante!!!

Passo 2

Quando h → 0 , o numerador:

f x + h - f x - h → f x - f x = 0

Assim, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos de fato usar a regra de L’Hospital. A derivada do numerador será

f x + h - f x - h '

= f ' ( x + h ) ⋅ 1 - f ' ( x - h ) ⋅ - 1

= f ' x + h + f ' ( x - h )

Como a derivada do denominador é 2 , segue que

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - h 2 h

= lim h → 0 ⁡ f ' x + h + f ' x - h 2

= f ' x + f ' ( x ) 2 = f ' ( x )

Resposta

Demonstração.

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Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x - sin ⁡ x
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