Enunciado

Se f ' ' for contínua, mostre que

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - 2 f (x) + f ( x - h ))/(h^2) = f ' ' ( x )

Passo 1

O exercício pede para usarmos a regra de L’Hospital para achar o valor do limite, então é isso que devemos fazer: tentar aplicar a regra!!!

Um cuidado que devemos tomar nesse exercício é que as derivadas devem ser tomadas com relação a h , x atua como uma constante!!!

Passo 2

Quando h -> 0 , f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h) -> f (x) - 2 f (x) + f (x) = 0 . Assim, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos de fato usar a regra de L’Hospital. A derivada do numerador será

(f (x + h) - 2 f (x) + f ( x - h ))^' = f^' (x + h) + f^' (x - h) * (- 1) = f^' (x + h) - f ' ( x - h )

Note que como f ( x ) não depende de h , sua derivada é nula.

Como a derivada do denominador é 2 h , segue que

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - 2 f (x) + f ( x - h ))/(h^2) = underset(h -> 0)(lim) (f^' (x + h) - f ' ( x - h ))/(2 h)

Note que conforme h -> 0 , f^' (x + h) - f^' (x - h) -> f^' (x) - f^' (x) = 0 . Seguimos com uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital novamente. A derivada do numerador será

(f^' (x + h) - f^' (x - h))^' = f^(' ') (x + h) - f^(' ') (x - h) * (- 1) = f^(' ') (x + h) + f ' ' ( x - h )

Assim,

underset(h -> 0)(lim) (f^' (x + h) - f ' ( x - h ))/(2 h) = underset(h -> 0)(lim) (f^(' ') (x + h) + f ' ' ( x - h ))/(2) = (f^(' ') (x) + f ' ' ( x ))/(2) = f ' ' ( x )

Portanto,

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - 2 f (x) + f ( x - h ))/(h^2) = f ' ' ( x )

Resposta

Demonstração.

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