Enunciado

Se k for um número positivo, encontre o raio de convergência da série

∑ n = 0 ∞ n ! k k n ! x n

Passo 1

Beleza, galera? Vamos aplicar o Teste da Razão pra chegar até ao raio de convergência da série:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ n + 1 ! k k n ! k n + 1 ! n ! k x n + 1 x n = l i m n → ∞ n + 1 n ! k k n ! k n + k ! n ! k x = l i m n → ∞ n + 1 k n ! k k n ! k n + k k n + k - 1 k n + k - 2 … k n + 1 k n ! n ! k x = l i m n → ∞ n + 1 n + 1 n + 1 … n + 1 k n + k k n + k - 1 k n + k - 2 … k n + 1 x

Repare que, tanto no numerador, quanto no denominador, existem k fatores se multiplicando:

= l i m n → ∞ 1 + 1 n 1 + 1 n 1 + 1 n … 1 + 1 n k + k n k + k n - 1 n k + k n - 2 n … k + 1 n x = 1 + 0 1 + 0 1 + 0 … ( 1 + 0 ) k + 0 k + 0 - 0 k + 0 - 0 … k + 0 x = 1 k k | x |

Passo 2

Então, para termos convergência, pelo Teste da Razão:

1 k k x < 1

x < k k

Assim, o raio de convergência da série é R = k k .

Resposta

R = k k

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