Enunciado

(a) Se A fora área do círculo com raio r e, à medida que o tempo passa, o círculo se expandir, encontre d A d t em termos de d r d t .

(b) Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1 m/s, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a 30 m?

Passo 1

Opa, bora lá resolver esse problema! Temos um círculo que esta se expandindo ao longo do tempo, ele tem área A e raio r .

Sabendo disso o enunciado pede pra a gente encontrar d A d t em função de d r d t .

Para isso a primeira coisa que devemos fazer é relacionar a área do círculo em função do comprimento de seu raio. Sabemos que se r é o tamanho do raio, então a área A r é dada por:

A = π r 2

Passo 2

Se r varia com o tempo t e a área varia em função de r então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo:

Vamos derivar a área em relação ao tempo implicitamente:

d A d t = π 2 r ∙ d r d t

d A d t = 2 π r ∙ d r d t

Logo, d A d t em termos de d r d t é dada por   d A d t = 2 π r ∙ d r d t .

Passo 3

Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1 m/s, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a 30 m?

Na letra (b) a gente tem um problema prático! Temos uma ruptura em um petroleiro e o petróleo se espalha formando um padrão circular! Temos que responder quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a 30 m, sabendo que o raio do óleo derramado é de 1 / s .

Se d r d t = 1 m/s quando r = 30 m, então:

d A d t = 2 π r ∙ d r d t

d A d t = 2 π 30 ∙ 1

d A d t = 60 π

Logo, a área do vazamento está crescendo a uma taxa de 60 π m2/s.

Resposta

(a) d A d t em termos de d r d t é dada por   d A d t = 2 π r × d r d t .

(b) A área do vazamento está crescendo a uma taxa de 60 π m2/s.

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