Enunciado

A fórmula 4 é valida apenas quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f x não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície torna-se

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

Passo 1

Na derivação da fórmula 4, calculamos uma contribuição típica para a área da superfície como sendo

2 π y i - 1 + y i 2   P i - 1 P i  

Que é a área de um tronco de cone. Quando f ( x ) não é necessariamente positiva, as aproximações

y i = f x i ≈ f ( x i * )

E

y i - 1 = f x i - 1 ≈ f ( x i * )

Devem ser substituídas por

y i = f x i ≈ | f ( x i * )

E

y i - 1 = f x i - 1 ≈ f x i *

Então

2 π y i - 1 + y i 2   P i - 1 P i ≈ 2 π f x i * 1 + f ' x 2 ∆ x

Continuando com o resto da derivação como antes, obtemos

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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