Enunciado

A função comprimento de arco para uma curva y = f x , onde f é uma função crescente, é s x = ∫ 0 x 3 t + 5 d t .

  1. Se f interceptar y em 2 , encontre uma equação para f .
  2. Que ponto no gráfico de f está 3 unidades ao longo da curva que intercepta y ? Comprove sua resposta com 3 casas decimais.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Usando a regra de Leibnitz podemos resolver a integral:

s x = ∫ 0 x 3 t + 5 d t

s x = 3 x + 5 ⋅ d d x x - 3 0 + 5 ⋅ d d x 0

s x = 3 x + 5 ⋅ 1 - 5 ⋅ 0

s x = 3 x + 5

Passo 2

A fórmula do comprimento do arco para a curva y = f x é:

s x = 1 + f ' x 2

Podemos igualar as equações para descobrir f ' x :

3 x + 5 = 1 + f ' x 2

3 x + 5 = 1 + f ' x 2

f ' x = 3 x + 4

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados:

∫ f ' x = ∫ 3 x + 4

f x = ∫ 3 x + 4 d x

Agora vamos aplicar o método da substituição para resolver a integral. Vamos considerar 3 x + 4 = t e d t = 3 d x . Logo:

f x = 1 3 ∫ t 1 2 d t

Resolvendo, temos que:

f x = 1 3 t 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

f x =   2 9 t 3 2 + C

Substituindo de volta:

f x = 2 9 3 x + 4 3 2 + C

Passo 4

Agora vamos aplicar a informação do enunciado. Quando y intercepta 2 .

x = 0

f x = 2

Substituindo os valores, temos:

2 = 2 9 3 0 + 4 3 2 + C

2 = 16 9 + C

C = 2 9

Agora que encontramos a constante, podemos dizer que nossa função será:

f x = 2 9 3 x + 4 3 2 + 2 9

Passo 5

Item b:

O objetivo é encontrar o ponto em que f existem 3 unidades ao longo da curva.

Isso significa que o comprimento do arco é 3 .

s x = 3

Sabemos que:

s x = 3 x + 5

Equacionando as equações temos que:

3 = 3 x + 5

Resolvendo temos que:

3 x + 5 = 9

3 x = 4

x = 4 3

Aproximando para 3 casas decimais, temos que:

x ≈ 1,333

Passo 6

Aplicando a na função, temos que:

f 4 3 = 2 9 3 4 3 + 4 3 2 + 2 9

f 4 3 = 2 9 4 + 4 3 2 + 2 9

f 4 3 = 2 9 8 3 2 + 2 9

Aproximando para 3 casas decimais, temos que:

f 4 3 ≈ 5,251

Portanto, o ponto necessário é 1,333   ,   5,251 .

Resposta

a )   f x = 2 9 3 x + 4 3 2 + 2 9

b )   1,333   ,   5,251

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